\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x^{2}-6 r}{x^{3}-4}

Passo 1

Enunciado e dados que temos: calcular
\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}+x^{2}-6 r}{x^{3}-4}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • A constante r aparece no numerador; não é dada num valor numérico, apenas que é uma constante.
  • O numerador é um polinômio de grau 3: x^{3}+x^{2}-6r.
  • O denominador é um polinômio de grau 3: x^{3}-4.
    O que o enunciado pede: o valor do limite quando x cresce sem bound.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação do método): quando x\to\infty em uma fração racional onde numerador e denominador são polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma maneira direta e sistemática é dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente (aqui x^{3}). Vamos fazer essa divisão termo a termo para reescrever a expressão em funções de potências negativas de x, que tendem a zero quando x\to\infty.

Passo 3

Dividindo tudo por x^{3}:
\frac{x^{3}+x^{2}-6 r}{x^{3}-4} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{6r}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{3}}} = \frac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{6r}{x^{3}}}{1-\dfrac{4}{x^{3}}}.

Passo 4

Analisando os termos que restaram: quando x\to\infty temos
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Justificativa rápida: para qualquer inteiro positivo n, \dfrac{1}{x^{n}} tende a 0 quando x\to\infty porque o denominador cresce sem limite e vence o numerador constante (por exemplo, \dfrac{1}{x^{n}}\le \dfrac{1}{x} para x\ge 1, e \dfrac{1}{x}\to 0).

Passo 5

Aplicando esses limites na expressão obtida em Passo 3:
  • O numerador tende a 1+0-0=1.
  • O denominador tende a 1-0=1.
    Portanto a fração tende a \dfrac{1}{1}=1.
    Observação importante: o termo com r aparece como -\dfrac{6r}{x^{3}}, que tende a 0 para qualquer constante r. Logo o valor do limite não depende de r.

Passo 6

Resumo prático / dica para prova: quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite da fração racional quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes principais são ambos 1, então o limite é 1. Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+2}{-5x^{4}+7}=-\frac{3}{5}.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}=0 (grau do numerador menor que do denominador).

Resposta

1

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