Passo 1
Enunciado e dados que temos: calcular
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável que tende ao infinito é
. - A constante
aparece no numerador; não é dada num valor numérico, apenas que é uma constante. - O numerador é um polinômio de grau
: . - O denominador é um polinômio de grau
: .
O que o enunciado pede: o valor do limite quandocresce sem bound.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação do método): quando
em uma fração racional onde numerador e denominador são polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma maneira direta e sistemática é dividir numerador e denominador pelo maior poder de
presente (aqui
). Vamos fazer essa divisão termo a termo para reescrever a expressão em funções de potências negativas de
, que tendem a zero quando
.
Passo 3
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Analisando os termos que restaram: quando
temos
Justificativa rápida: para qualquer inteiro positivo
,
tende a
quando
porque o denominador cresce sem limite e vence o numerador constante (por exemplo,
para
, e
).
Passo 5
Aplicando esses limites na expressão obtida em Passo 3:
- O numerador tende a
. - O denominador tende a
.
Portanto a fração tende a.
Observação importante: o termo comaparece como , que tende a para qualquer constante . Logo o valor do limite não depende de .
Passo 6
Resumo prático / dica para prova: quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite da fração racional quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes principais são ambos
, então o limite é
. Exemplos rápidos:
-
. -
(grau do numerador menor que do denominador).
Resposta
1