Mostre, utilizando a definição de limite (por
e
), que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite por
e
, que
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - O valor limite esperado é
.
O objetivo é provar que para todoexiste um tal que, sempre que , vale .
Passo 2
Lembra rápido da definição de limite que vamos usar (explicada como se estivéssemos combinando um plano de prova):
- Dizemos que
se, para todo dado, conseguirmos encontrar um tal que
Aqui
representa o quanto queremos que
fique perto de
(um raio de tolerância no eixo y) e
será a distância correspondente no eixo x que garante essa tolerância. Na prova, o jogo típico é partir da desigualdade desejada
e manipular algebraicamente para descobrir uma condição sobre
; essa condição sugere uma escolha adequada para
.
Passo 3
Calculemos
explicitamente para ver a relação com
:
Isto é simples e importante: a diferença entre
e o limite
é exatamente
vezes a distância de
a
.
Passo 4
A partir de
, queremos que
. Isolando
obtemos
Isto sugere a escolha muito natural
Ou seja: se garantirmos que
está a menos de
de
, então a desigualdade desejada em termos de
se segue.
Passo 5
Formalizando a prova usando a escolha
:
Seja qualquer
. Tome
. Suponha
tal que
. Então, usando o cálculo do Passo 3,
Portanto, sempre que
temos
. Isso satisfaz exatamente a definição de limite por
e
, concluindo a prova.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se escolhermos
(ou seja, queremos que
fique a menos de
de
), então
. Isso significa que qualquer
com
fará com que
. Visualmente: reduzir a largura no eixo
reduz em dobro a diferença no eixo
, porque a inclinação da reta é
.