Mostre, utilizando a definição de limite (por \varepsilon e \delta ), que \lim _{x \rightarrow 2} 2 x-3=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite por \varepsilon e \delta, que
\lim_{x\to 2} (2x-3) = 1.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=2x-3.
  • O ponto de interesse é x_0=2.
  • O valor limite esperado é L=1.
    O objetivo é provar que para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale |(2x-3)-1|<\varepsilon.

Passo 2

Lembra rápido da definição de limite que vamos usar (explicada como se estivéssemos combinando um plano de prova):
  • Dizemos que \lim_{x\to 2} f(x)=1 se, para todo \varepsilon>0 dado, conseguirmos encontrar um \delta>0 tal que
0<|x-2|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-1|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon representa o quanto queremos que f(x) fique perto de 1 (um raio de tolerância no eixo y) e \delta será a distância correspondente no eixo x que garante essa tolerância. Na prova, o jogo típico é partir da desigualdade desejada |f(x)-1|<\varepsilon e manipular algebraicamente para descobrir uma condição sobre |x-2|; essa condição sugere uma escolha adequada para \delta.

Passo 3

Calculemos |f(x)-1| explicitamente para ver a relação com |x-2|:
|f(x)-1| = |(2x-3)-1| = |2x-4| = 2|x-2|.
Isto é simples e importante: a diferença entre f(x) e o limite 1 é exatamente 2 vezes a distância de x a 2.

Passo 4

A partir de |f(x)-1| = 2|x-2|, queremos que 2|x-2|<\varepsilon. Isolando |x-2| obtemos
|x-2| < \frac{\varepsilon}{2}.
Isto sugere a escolha muito natural
\delta = \frac{\varepsilon}{2}.
Ou seja: se garantirmos que x está a menos de \delta de 2, então a desigualdade desejada em termos de f(x) se segue.

Passo 5

Formalizando a prova usando a escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}:
Seja qualquer \varepsilon>0. Tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Suponha x tal que 0<|x-2|<\delta. Então, usando o cálculo do Passo 3,
|f(x)-1| = 2|x-2| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, sempre que 0<|x-2|<\delta temos |f(x)-1|<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de limite por \varepsilon e \delta, concluindo a prova.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se escolhermos \varepsilon=0,1 (ou seja, queremos que f(x) fique a menos de 0,1 de 1), então \delta=\dfrac{0,1}{2}=0,05. Isso significa que qualquer x com 0<|x-2|<0,05 fará com que |(2x-3)-1|<0,1. Visualmente: reduzir a largura no eixo x reduz em dobro a diferença no eixo y, porque a inclinação da reta é 2.

Resposta

1

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