Considere a função
.
Utilizando o Teorema de Bolzano, mostre que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Utilizando o Teorema de Bolzano, mostre que a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo e pede uma demonstração usando o Teorema de Bolzano. Dados e pedido:
- Função:
. - Intervalo:
. - Pedido: usar o Teorema de Bolzano para mostrar que
tem pelo menos uma raiz em .
Passo 2
Recordando o Teorema de Bolzano (forma que usaremos): se uma função
é contínua no intervalo fechado
e
, então existe
tal que
.
Explicando em palavras: basta mostrar (i) que a função é contínua em e (ii) que os valores em
e
têm sinais opostos; isso garante a existência de pelo menos uma raiz entre
e
.
Explicando em palavras: basta mostrar (i) que a função é contínua em
Passo 3
Verificar continuidade de
em
. Razões:
- Polinômios são contínuos em toda parte.
- Quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não é zero.
A funçãotem denominador . Para temos , que nunca é zero. Portanto o denominador não se anula no intervalo e é contínua em .
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Conclui-se que
.
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Conclui-se que
.
Passo 6
Como
e
, o produto é negativo:
Temos então as duas hipóteses do Teorema de Bolzano satisfeitas:
é contínua em
e os valores nas extremidades têm sinais opostos. Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um
tal que
.
Resposta
Existe
tal que
.