Considere a função h(x)=\frac{3 x+3}{x-1}.
Utilizando o Teorema de Bolzano, mostre que a função h tem pelo menos uma raiz no intervalo [-2,0].

Passo 1

O enunciado dá a função h e o intervalo e pede uma demonstração usando o Teorema de Bolzano. Dados e pedido:
  • Função: h(x)=\dfrac{3x+3}{x-1}.
  • Intervalo: [-2,0].
  • Pedido: usar o Teorema de Bolzano para mostrar que h tem pelo menos uma raiz em [-2,0].

Passo 2

Recordando o Teorema de Bolzano (forma que usaremos): se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Explicando em palavras: basta mostrar (i) que a função é contínua em [a,b] e (ii) que os valores em a e b têm sinais opostos; isso garante a existência de pelo menos uma raiz entre a e b.

Passo 3

Verificar continuidade de h em [-2,0]. Razões:
  • Polinômios são contínuos em toda parte.
  • Quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não é zero.
    A função h tem denominador x-1. Para x\in[-2,0] temos x-1\in[-3,-1], que nunca é zero. Portanto o denominador não se anula no intervalo e h é contínua em [-2,0].

Passo 4

Calcular h(-2) passo a passo:
\text{Numerador: }3(-2)+3=-6+3=-3.
\text{Denominador: }(-2)-1=-3.
h(-2)=\frac{-3}{-3}=1.
Conclui-se que h(-2)=1>0.

Passo 5

Calcular h(0) passo a passo:
\text{Numerador: }3(0)+3=3.
\text{Denominador: }0-1=-1.
h(0)=\frac{3}{-1}=-3.
Conclui-se que h(0)=-3<0.

Passo 6

Como h(-2)=1>0 e h(0)=-3<0, o produto é negativo:
h(-2)\cdot h(0)=1\cdot(-3)=-3<0.
Temos então as duas hipóteses do Teorema de Bolzano satisfeitas: h é contínua em [-2,0] e os valores nas extremidades têm sinais opostos. Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um c\in(-2,0) tal que h\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in(-2,0) tal que h\text{(c)}=0.

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