\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x+\operatorname{sen} x}{x}.
O conteúdo envolvido é limite de função no infinito e uso de teorema do aperto (squeeze) para mostrar que \operatorname{sen} x/x\to0.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a expressão em termos de frações separadas:
\frac{x+\operatorname{sen} x}{x} =\frac{x}{x}+\frac{\operatorname{sen} x}{x} =1+\frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 3

Usamos a propriedade de limites que permite somar limites quando existem:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr) =\lim_{x\to\infty}1\;+\;\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Fica claro que
\lim_{x\to\infty}1=1.

Passo 4

Para \lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, observamos que \operatorname{sen} x é limitada por -1 e 1, ou seja,
-1\le\operatorname{sen} x\le1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{x}\le\frac{\operatorname{sen} x}{x}\le\frac{1}{x}.
Como \lim_{x\to\infty}-\tfrac1x=0 e \lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0, pelo teorema do aperto segue
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=0.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x+\operatorname{sen} x}{x} =1+0 =1.

Resposta

1

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