\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3 x^{3}+2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a menos infinito:
\lim_{x\to -\infty}\left(3x^{3}+2x+1\right).
Informações dadas:
  • A função considerada é o polinômio 3x^{3}+2x+1.
  • A variável x tende para -\infty, ou seja, valores muito negativos de x.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando x vai para \pm\infty em um polinômio, o termo de maior grau costuma dominar o comportamento da função. Aqui o maior grau é 3, com coeficiente 3, ou seja o termo dominante é 3x^{3}. Vamos tornar isso algébrica e rigorosa fatorando x^{3}.

Passo 3

Fatorando x^{3} em 3x^{3}+2x+1 obtemos:
3x^{3}+2x+1 = x^{3}\!\left(3+\frac{2x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}\right).
Simplificando as frações internas:
3x^{3}+2x+1 = x^{3}\!\left(3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right).

Passo 4

Agora analisamos o fator entre parênteses quando x\to -\infty. Observe que
\lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x^{2}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,
porque x^{2} e |x^{3}| crescem sem limite quando |x|\to\infty, então as frações com denominador que cresce tendem a zero. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)=3+0+0=3.

Passo 5

Analisamos o outro fator x^{3}. Quando x\to -\infty temos x^{3}\to -\infty, porque elevar um número muito negativo a uma potência ímpar preserva o sinal negativo e aumenta o módulo. Logo
\lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty.

Passo 6

Agora combinamos os dois resultados. Temos uma fatoração
3x^{3}+2x+1 = x^{3}\cdot\left(3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right),
onde o primeiro fator tende a -\infty e o segundo fator tende ao número positivo 3. Intuitivamente, multiplicar algo que tende a -\infty por algo que tende a uma constante positiva resulta em -\infty. Para ver isso de forma elementar: como o segundo fator tende a 3, existe M>0 tal que para x<M (lembre que estamos olhando para x muito negativo) tem-se \left(3+\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)>\dfrac{3}{2}>0; então para esses x
3x^{3}+2x+1 = x^{3}\cdot\left(3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \le x^{3}\cdot\left(\text{constante positiva}\right),
e como x^{3}\to -\infty o produto tende a -\infty.

Passo 7

Portanto o limite pedido é -\infty.

Resposta

-\infty

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