Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a menos infinito:
Informações dadas:
- A função considerada é o polinômio
. - A variável
tende para , ou seja, valores muito negativos de .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando
vai para
em um polinômio, o termo de maior grau costuma dominar o comportamento da função. Aqui o maior grau é
, com coeficiente
, ou seja o termo dominante é
. Vamos tornar isso algébrica e rigorosa fatorando
.
Passo 3
Fatorando
em
obtemos:
Simplificando as frações internas:
Passo 4
Agora analisamos o fator entre parênteses quando
. Observe que
porque
e
crescem sem limite quando
, então as frações com denominador que cresce tendem a zero. Portanto
Passo 5
Analisamos o outro fator
. Quando
temos
, porque elevar um número muito negativo a uma potência ímpar preserva o sinal negativo e aumenta o módulo. Logo
Passo 6
Agora combinamos os dois resultados. Temos uma fatoração
onde o primeiro fator tende a
e o segundo fator tende ao número positivo
. Intuitivamente, multiplicar algo que tende a
por algo que tende a uma constante positiva resulta em
. Para ver isso de forma elementar: como o segundo fator tende a
, existe
tal que para
(lembre que estamos olhando para
muito negativo) tem-se
; então para esses
e como
o produto tende a
.
Passo 7
Portanto o limite pedido é
.