\lim _{x \rightarrow 0} x^{2026} \cos \left(\frac{7}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x \rightarrow 0} x^{2026} \cos\!\left(\frac{7}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é o produto de x^{2026} por \cos\!\left(\tfrac{7}{x}\right).
  • O expoente é \,2026 (um inteiro par grande).
  • A função cosseno é conhecida por oscilar entre -1 e 1 para todos os argumentos.

Passo 2

Lembrar uma propriedade básica do cosseno: para todo número real t vale
-1 \le \cos(t) \le 1.
Aqui o argumento é t=\dfrac{7}{x}, mas a desigualdade continua válida para todo x\neq0:
-1 \le \cos\!\left(\frac{7}{x}\right) \le 1.

Passo 3

Multiplicamos a desigualdade anterior por x^{2026}. Antes de multiplicar, é importante notar que \,2026 é par, portanto para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2026}\ge0. Como o fator que multiplica é não-negativo, a desigualdade mantém-se na mesma direção ao multiplicar:
- x^{2026} \le x^{2026}\cos\!\left(\frac{7}{x}\right) \le x^{2026}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que aparecem nas extremidades da desigualdade. Como \,2026\ge1, tem-se
\lim_{x\to 0} x^{2026} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} (-x^{2026}) = 0.
Isto ocorre porque qualquer potência positiva de x tende a zero quando x\to0.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem): se para x próximos de 0 vale
f(x)\le g(x)\le h(x)
e \lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=L, então \lim_{x\to 0} g(x)=L.
No nosso caso, com
f(x)=-x^{2026},\quad g(x)=x^{2026}\cos\!\left(\frac{7}{x}\right),\quad h(x)=x^{2026},
temos \lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=0. Portanto
\lim_{x\to 0} x^{2026}\cos\!\left(\frac{7}{x}\right)=0.

Passo 6

Comentário didático curto e motivador: mesmo que \cos\!\left(\tfrac{7}{x}\right) oscile muito quando x\to0 (não tem limite isoladamente), o fator x^{2026} vai a zero tão rápido que “anula” essas oscilações. Método alternativo curto: usar valor absoluto,
\left|x^{2026}\cos\!\left(\frac{7}{x}\right)\right|\le |x^{2026}|
e como \lim_{x\to0}|x^{2026}|=0, conclui-se igualmente que o limite do produto é 0. Força aí — essa é uma técnica que cai muito em prova!

Resposta

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