\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas e hipóteses necessárias (pressupostos):
  • a, b e c são constantes. Para que a expressão esteja bem definida em torno de x=0 e possamos usar logaritmos, vou assumir que a>0, b>0 e c>0.
  • A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende a zero?

Passo 2

Ideia útil (sem resolver ainda): quando aparece algo elevado a 1/x e x\to0, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque isso simplifica o estudo do limite. Assim, defino a função cujo limite queremos e tomo logaritmo.
Definir
L=\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}.
Se conseguirmos calcular \ln L, então L=\mathrm{e}^{\ln L}. Como a função \ln é contínua e a expressão dentro do limite é positiva (pela hipótese a,b,c>0), vale
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right).
Explicar por que isso é legal: para f(x)>0, \lim_{x\to 0} f(x)=L>0 implica \lim_{x\to 0}\ln f(x)=\ln L. Tomar \ln transforma potências em multiplicadores, o que facilita a análise.

Passo 3

Agora vamos aproximar a^{x}, b^{x}, c^{x} para pequenos x. Usamos a identidade
a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}.
Para y\to0 vale a expansão (fórmula básica do exponencial)
\mathrm{e}^{y}=1+y+o(y),
onde o(y) significa "algo que é muito menor que y quando y\to0". Aplicando com y=x\ln a obtemos
a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}=1+x\ln a+o(x).
De modo análogo,
b^{x}=1+x\ln b+o(x),\qquad c^{x}=1+x\ln c+o(x).
Somando as três aproximações:
a^{x}+b^{x}+c^{x}=3+x(\ln a+\ln b+\ln c)+o(x).
Para simplificar, defina
S=\ln a+\ln b+\ln c.
Então
a^{x}+b^{x}+c^{x}=3+xS+o(x).
Explicando com calma: a ideia é que cada a^{x} é muito próximo de 1 quando x é pequeno, e a primeira ordem do desvio é x\ln a. Somando, o desvio total é x(\ln a+\ln b+\ln c).

Passo 4

Colocar essa soma dentro do logaritmo que apareceu em \ln L:
\ln\!\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right) =\ln\!\left(\frac{3+xS+o(x)}{3}\right) =\ln\!\left(1+\frac{xS}{3}+\frac{o(x)}{3}\right).
Chame u(x)=\dfrac{xS}{3}+\dfrac{o(x)}{3}. Note que u(x)\to0 quando x\to0. Usamos a aproximação (limite padrão)
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
que vem do desenvolvimento \ln(1+u)=u+o(u) ou do fato de que a derivada de \ln em 0 é 1. Portanto, para x\to0,
\ln\!\left(1+\frac{xS}{3}+\frac{o(x)}{3}\right) =\frac{xS}{3}+o(x).
Agora voltamos ao cálculo de \ln L:
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot\left(\frac{xS}{3}+o(x)\right).
Dividindo por x:
\frac{1}{x}\left(\frac{xS}{3}+o(x)\right)=\frac{S}{3}+\frac{o(x)}{x}.
Como o(x)/x\to0 quando x\to0, concluímos
\ln L=\frac{S}{3}.
Aqui dei uma pausa para explicar: o termo o(x) é muito menor que x, então quando dividimos por x ele some no limite.

Passo 5

Substituir S=\ln a+\ln b+\ln c em \ln L:
\ln L=\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}.
Aplicando exponencial para recuperar L:
L=\mathrm{e}^{\ln L} =\mathrm{e}^{\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}} =\left(\mathrm{e}^{\ln a}\,\mathrm{e}^{\ln b}\,\mathrm{e}^{\ln c}\right)^{\!\frac{1}{3}} =(abc)^{\frac{1}{3}}.
Interpretação simples: o limite é a raiz cúbica do produto abc, ou seja, a média geométrica de a, b e c.

Resposta

(abc)^{\frac{1}{3}}

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