Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas e hipóteses necessárias (pressupostos):
-
, e são constantes. Para que a expressão esteja bem definida em torno de e possamos usar logaritmos, vou assumir que , e . - A pergunta é: qual é o valor do limite quando
tende a zero?
Passo 2
Ideia útil (sem resolver ainda): quando aparece algo elevado a
e
, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque isso simplifica o estudo do limite. Assim, defino a função cujo limite queremos e tomo logaritmo.
Definir
Se conseguirmos calcular
, então
. Como a função
é contínua e a expressão dentro do limite é positiva (pela hipótese
), vale
Explicar por que isso é legal: para
,
implica
. Tomar
transforma potências em multiplicadores, o que facilita a análise.
Passo 3
Agora vamos aproximar
,
,
para pequenos
. Usamos a identidade
Para
vale a expansão (fórmula básica do exponencial)
onde
significa "algo que é muito menor que
quando
". Aplicando com
obtemos
De modo análogo,
Somando as três aproximações:
Para simplificar, defina
Então
Explicando com calma: a ideia é que cada
é muito próximo de
quando
é pequeno, e a primeira ordem do desvio é
. Somando, o desvio total é
.
Passo 4
Colocar essa soma dentro do logaritmo que apareceu em
:
Chame
. Note que
quando
. Usamos a aproximação (limite padrão)
que vem do desenvolvimento
ou do fato de que a derivada de
em
é
. Portanto, para
,
Agora voltamos ao cálculo de
:
Dividindo por
:
Como
quando
, concluímos
Aqui dei uma pausa para explicar: o termo
é muito menor que
, então quando dividimos por
ele some no limite.
Passo 5
Substituir
em
:
Aplicando exponencial para recuperar
:
Interpretação simples: o limite é a raiz cúbica do produto
, ou seja, a média geométrica de
,
e
.