\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}.
  • O ponto x=0 não pertence ao domínio da expressão por causa de \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{|x|}.
  • Estamos calculando um limite à direita, isto é, x se aproxima de 0 vindo de valores positivos ( x>0).

Passo 2

Entender |x|\) quando \(x\) é próximo de \(0\) pela direita. Lembrando a definição básica do valor absoluto: \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Como o limite é pela direita temos x>0\] nas aproximações relevantes, portanto, para todos os \(x suficientemente próximos de 0 com x>0 vale
|x| = x.]

Passo 3

Usar a igualdade |x|=x (válida para x>0) para simplificar a expressão. Substituindo na função:
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x}.
Calculando a diferença obtemos
\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.

Passo 4

Interpretação do resultado para o limite. Encontramos que, para todo x>0 suficientemente próximo de 0, a expressão é exatamente 0. Quando uma função assume um valor constante (aqui 0) numa vizinhança à direita do ponto, o limite à direita é justamente esse valor constante. Logo,
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0.
Observação adicional (útil na prova): o limite à esquerda \lim_{x\to0^{-}}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}\right) é diferente — para x<0 tem-se |x|=-x e a expressão vira \dfrac{2}{x}, que diverge quando x\to0^{-}. Isso mostra que o limite bilateral \lim_{x\to0} não existe, embora o limite à direita exista e valha 0.

Resposta

0

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