Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - A expressão envolve uma raiz quadrada de um polinômio do segundo grau em
mais um termo linear em . - A aproximação intuitiva é que, para
muito negativo, a raiz cresce em módulo enquanto é grande e negativo; por isso a forma é do tipo “infinito menos infinito” (indeterminada), ou seja, não dá para apenas substituir sem manipular a expressão.
Passo 2
Observação sobre o comportamento das partes separadas:
- Para
grande, a raiz tem comportamento similar a . - Como
, tem-se . Então é aproximadamente , e sugere cancelamento; isso mostra que há uma compensação grande entre os termos, justificando que precisamos manipular algebricamente para encontrar o valor limite exato.
Passo 3
Escolha do método (e por quê): racionalizar usando o conjugado
- Quando aparece uma soma/diferença envolvendo uma raiz, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para eliminar a raiz do numerador/denominador e assim retirar a indeterminação.
- A identidade usada é
. Aqui e (ou, de forma equivalente, trabalhar com e multiplicar por ).
Passo 4
Racionalizar a expressão passo a passo:
Usando a identidade
com
e
, o numerador fica
Portanto a expressão transforma-se em
Passo 5
Lidar com o módulo em
e simplificar para
:
- Escrever
como , pois
- Para
temos . Substituindo no denominador:
- Substituindo essa expressão na fração obtida em Passo 4:
Passo 6
Calcular o limite final usando continuidade:
- À medida que
temos . - A função
é contínua em torno de , então
- Assim a expressão do Passo 5 tende para
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- O limite existe e é finito:
. - Intuitivamente, o grande termo positivo da raiz e o grande termo negativo
se cancelam quase totalmente, sobrando um termo convergente .