\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+2 x\right)\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada de um polinômio do segundo grau em x mais um termo linear em x.
  • A aproximação intuitiva é que, para x muito negativo, a raiz cresce em módulo enquanto 2x é grande e negativo; por isso a forma é do tipo “infinito menos infinito” (indeterminada), ou seja, não dá para apenas substituir x\to -\infty sem manipular a expressão.

Passo 2

Observação sobre o comportamento das partes separadas:
  • Para |x| grande, a raiz tem comportamento similar a \sqrt{4x^{2}}=2|x|.
  • Como x\to -\infty, tem-se |x|=-x. Então \sqrt{4x^{2}+3x} é aproximadamente -2x, e -2x+2x sugere cancelamento; isso mostra que há uma compensação grande entre os termos, justificando que precisamos manipular algebricamente para encontrar o valor limite exato.

Passo 3

Escolha do método (e por quê): racionalizar usando o conjugado
  • Quando aparece uma soma/diferença envolvendo uma raiz, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para eliminar a raiz do numerador/denominador e assim retirar a indeterminação.
  • A identidade usada é (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}. Aqui A=\sqrt{4x^{2}+3x} e B= -2x (ou, de forma equivalente, trabalhar com A+2x e multiplicar por A-2x).

Passo 4

Racionalizar a expressão passo a passo:
\sqrt{4x^{2}+3x}+2x = \frac{\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right)\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}
Usando a identidade (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} com A=\sqrt{4x^{2}+3x} e B=2x, o numerador fica
(\sqrt{4x^{2}+3x})^{2}-(2x)^{2}= (4x^{2}+3x)-4x^{2}=3x.
Portanto a expressão transforma-se em
\sqrt{4x^{2}+3x}+2x=\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}.

Passo 5

Lidar com o módulo em \sqrt{4x^{2}+3x} e simplificar para x\to -\infty:
  • Escrever \sqrt{4x^{2}+3x} como |x|\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}, pois
\sqrt{4x^{2}+3x}=|x|\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}.
  • Para x\to -\infty temos |x|=-x. Substituindo no denominador:
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = -x\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}-2x = -x\Bigl(\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2\Bigr).
  • Substituindo essa expressão na fração obtida em Passo 4:
\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} = \frac{3x}{-x\Bigl(\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2\Bigr)} = \frac{3}{-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2} = -\frac{3}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2}.

Passo 6

Calcular o limite final usando continuidade:
  • À medida que x\to -\infty temos \dfrac{3}{x}\to 0.
  • A função \sqrt{\,\cdot\,} é contínua em torno de 4, então
\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}\longrightarrow \sqrt{4}=2.
  • Assim a expressão do Passo 5 tende para
-\frac{3}{2+2}=-\frac{3}{4}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O limite existe e é finito: -\tfrac{3}{4}.
  • Intuitivamente, o grande termo positivo da raiz e o grande termo negativo 2x se cancelam quase totalmente, sobrando um termo convergente -3/4.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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