Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-4 x+4}{x^{2}-3 x^{2}-4}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-4x+4}{x^{2}-3x^{2}-4}.
As informações relevantes são:
  • O numerador é \;x^{4}-4x+4\;.
  • O denominador é exatamente \;x^{2}-3x^{2}-4\; (observe que aparecem dois termos com x^{2} no denominador).
  • O ponto de interesse é x \to 2.
    O objetivo é calcular o limite quando existir, e explicar caso não exista.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que, para um polinômio p(x), vale
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Uma razão de polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)} é contínua em a sempre que Q(a)\neq 0; nesse caso o limite é o quociente dos valores:
\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}.
Portanto, antes de tentar manipular a expressão, o procedimento mais simples é verificar se o denominador avaliado em x=2 é diferente de zero. Se for diferente de zero, podemos usar substituição direta.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador algébrica e claramente, mostrando cada passo. O denominador dado é
x^{2}-3x^{2}-4.
Agrupando os termos em x^{2} temos
x^{2}-3x^{2}-4 = (1-3)x^{2}-4 = -2x^{2}-4.
Portanto o denominador pode ser escrito como -2x^{2}-4.

Passo 4

Avaliar o numerador em x=2 passo a passo:
x^{4}-4x+4 \quad\text{em }x=2
2^{4}-4\cdot 2+4 = 16-8+4.
Calculemos as somas:
16-8=8,\qquad 8+4=12.
Logo o numerador em x=2 vale \;12\;.

Passo 5

Avaliar o denominador (já simplificado) em x=2 passo a passo:
-2x^{2}-4 \quad\text{em }x=2
-2\cdot 2^{2}-4 = -2\cdot 4 -4.
Calculemos:
-2\cdot 4 = -8,\qquad -8-4 = -12.
Portanto o denominador em x=2 vale -12, que é diferente de zero.

Passo 6

Como o denominador em x=2 é diferente de zero, podemos aplicar substituição direta (pela continuidade da razão de polinômios) e concluir:
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-4x+4}{x^{2}-3x^{2}-4} = \frac{12}{-12} = -1.
Interpretação curta: não houve indeterminação; o limite existe e é -1.

Resposta

-1

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