Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
As informações relevantes são:
- O numerador é
. - O denominador é exatamente
(observe que aparecem dois termos com no denominador). - O ponto de interesse é
.
O objetivo é calcular o limite quando existir, e explicar caso não exista.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): polinômios são funções contínuas em todo
. Isso significa que, para um polinômio
, vale
Uma razão de polinômios
é contínua em
sempre que
; nesse caso o limite é o quociente dos valores:
Portanto, antes de tentar manipular a expressão, o procedimento mais simples é verificar se o denominador avaliado em
é diferente de zero. Se for diferente de zero, podemos usar substituição direta.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador algébrica e claramente, mostrando cada passo. O denominador dado é
Agrupando os termos em
temos
Portanto o denominador pode ser escrito como
.
Passo 4
Avaliar o numerador em
passo a passo:
Calculemos as somas:
Logo o numerador em
vale
.
Passo 5
Avaliar o denominador (já simplificado) em
passo a passo:
Calculemos:
Portanto o denominador em
vale
, que é diferente de zero.
Passo 6
Como o denominador em
é diferente de zero, podemos aplicar substituição direta (pela continuidade da razão de polinômios) e concluir:
Interpretação curta: não houve indeterminação; o limite existe e é
.