1. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\ln x^{2}-x^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to0}\bigl(\ln x^{2}-x^{-2}\bigr). Trata-se de analisar o comportamento de \ln x^{2} e de x^{-2} quando x se aproxima de zero, e decidir qual termo domina.

Passo 2

Estudamos primeiro \ln x^{2}. Como x^{2}\to0 quando x\to0, vale
\ln x^{2} = 2\,\ln|x|\;\longrightarrow\;- \infty.

Passo 3

Em seguida, examinamos x^{-2}. Quando x\to0, temos
x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}\;\longrightarrow\;+\infty.

Passo 4

Na expressão \ln x^{2}-x^{-2}, o termo -x^{-2} tende a -\infty muito mais rápido do que \ln x^{2} tende a -\infty. Para ver isso, faça t = x^{-2}; então t\to+\infty e
\ln x^{2}-x^{-2} = -\ln t \;-\; t,
onde o termo -t domina, levando a expressão inteira a -\infty.

Resposta

-\infty

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