Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função dentro do limite é
. - A constante
é a base dos logaritmos naturais. - O ponto de interesse é
. - Note que
quando , logo a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Transformação útil (usar logaritmo/exponencial): defino a função
Posso escrever
exponencialmente:
Isso é conveniente porque trabalhar com
permite usar uma expansão em série para pequenas
.
Passo 3
Expansão em série de
ao redor de
: a série de Taylor (Maclaurin) para
é
onde
indica termos de ordem
ou maiores. Para nossos propósitos precisamos apenas dos primeiros termos até
porque vamos dividir por
.
Agora calculo
Passo 4
Volto para
usando a expansão encontrada:
Isso pode ser separado como
Passo 5
Expansão da exponencial pequena: se
então
Aplicando isso em
obtemos a expansão até ordem linear:
Passo 6
Calculo o quociente pedido usando a expansão:
Ao fazer
o termo
desaparece, ficando o limite.
Passo 7
Conclusão do limite a partir do desenvolvimento assintótico: