\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / x}-e}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função dentro do limite é (1+x)^{1/x}.
  • A constante e é a base dos logaritmos naturais.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Note que (1+x)^{1/x}\to e quando x\to 0, logo a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}.

Passo 2

Transformação útil (usar logaritmo/exponencial): defino a função
f(x)=(1+x)^{1/x}.
Posso escrever f exponencialmente:
f(x)=\exp\!\bigg(\frac{\ln(1+x)}{x}\bigg).
Isso é conveniente porque trabalhar com \ln(1+x) permite usar uma expansão em série para pequenas x.

Passo 3

Expansão em série de \ln(1+x) ao redor de x=0: a série de Taylor (Maclaurin) para \ln(1+x) é
\ln(1+x)=x-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+O(x^{4}),
onde O(x^{4}) indica termos de ordem x^{4} ou maiores. Para nossos propósitos precisamos apenas dos primeiros termos até x^{2} porque vamos dividir por x.
Agora calculo
\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^{2}}{3}+O(x^{3}).

Passo 4

Volto para f(x) usando a expansão encontrada:
f(x)=\exp\!\bigg(\frac{\ln(1+x)}{x}\bigg)=\exp\!\Big(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^{2}}{3}+O(x^{3})\Big).
Isso pode ser separado como
f(x)=e\cdot\exp\!\Big(-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^{2}}{3}+O(x^{3})\Big).

Passo 5

Expansão da exponencial pequena: se h(x)=-\tfrac{x}{2}+O(x^{2}) então
\exp(h(x))=1+h(x)+O(h(x)^{2})=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2}).
Aplicando isso em f(x) obtemos a expansão até ordem linear:
f(x)=e\Big(1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})\Big)=e-\tfrac{e}{2}x+O(x^{2}).

Passo 6

Calculo o quociente pedido usando a expansão:
\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=\frac{f(x)-e}{x}=\frac{\big(e-\tfrac{e}{2}x+O(x^{2})\big)-e}{x}=\frac{-\tfrac{e}{2}x+O(x^{2})}{x}=-\tfrac{e}{2}+O(x).
Ao fazer x\to 0 o termo O(x) desaparece, ficando o limite.

Passo 7

Conclusão do limite a partir do desenvolvimento assintótico:
\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=-\tfrac{e}{2}.

Resposta

-\tfrac{e}{2}

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