Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A função dentro do limite é a razão entre duas expressões trigonométricas envolvendo
, e . - O ponto de interesse é
. - Valores conhecidos no ponto:
, , . - O objetivo é calcular o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Vamos pensar nos possíveis problemas de continuidade que poderiam impedir simplesmente substituir
:
-
é , então é indefinida quando . Precisamos garantir que perto de isso não acontece. - A raiz quadrada
exige argumento não negativo; aqui o argumento é que é sempre , logo não é problema. - A expressão no denominador
é contínua em todos os reais como função de .
Como
, existe um intervalo ao redor de
onde
permanece diferente de zero (e de fato positiva). Por exemplo, para todo
tem-se
, e
pertence a esse intervalo. Portanto
e a expressão inteira são bem definidas em uma vizinhança de
, e podemos usar propriedades de continuidade para avaliar o limite.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica clássica
onde
. Assim
Agora, como estamos considerando
perto de
e, como observado, em uma vizinhança de
tem-se
, segue que
nessa vizinhança. Logo nesse intervalo
Passo 4
Com essa simplificação, a expressão do limite para
próximo de
pode ser escrita como
Todas as funções envolvidas nessa forma (potências de
e
, a função
em uma vizinhança onde
, e soma e quociente com denominador não nulo) são contínuas nesse ponto. Portanto podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 5
Substituindo
:
-
. -
. - No denominador
.
Assim a expressão no ponto é