1. \lim _{x \rightarrow 2 \pi} \frac{\operatorname{sen}^{2} x+\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} x}}{\cos ^{2} x+6 \cos x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2\pi} \frac{\operatorname{sen}^{2}x+\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2}x}}{\cos^{2}x+6\cos x+3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função dentro do limite é a razão entre duas expressões trigonométricas envolvendo \sin x, \cos x e \tan x.
  • O ponto de interesse é x=2\pi.
  • Valores conhecidos no ponto: \sin(2\pi)=0, \cos(2\pi)=1, \tan(2\pi)=0.
  • O objetivo é calcular o valor do limite quando x se aproxima de 2\pi.

Passo 2

Vamos pensar nos possíveis problemas de continuidade que poderiam impedir simplesmente substituir x=2\pi:
  • \tan x é \dfrac{\sin x}{\cos x}, então é indefinida quando \cos x=0. Precisamos garantir que perto de 2\pi isso não acontece.
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} exige argumento não negativo; aqui o argumento é 1+\tan^{2}x que é sempre \ge 1, logo não é problema.
  • A expressão no denominador \cos^{2}x+6\cos x+3 é contínua em todos os reais como função de \cos x.
Como \cos(2\pi)=1\ne 0, existe um intervalo ao redor de 2\pi onde \cos x permanece diferente de zero (e de fato positiva). Por exemplo, para todo x\in\left(\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{2}\right) tem-se \cos x>0, e 2\pi pertence a esse intervalo. Portanto \tan x e a expressão inteira são bem definidas em uma vizinhança de 2\pi, e podemos usar propriedades de continuidade para avaliar o limite.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica clássica
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Assim
\sqrt{1+\tan^{2}x}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}x}=|\operatorname{sec} x|.
Agora, como estamos considerando x perto de 2\pi e, como observado, em uma vizinhança de 2\pi tem-se \cos x>0, segue que \operatorname{sec} x>0 nessa vizinhança. Logo nesse intervalo
\sqrt{1+\tan^{2}x}=|\operatorname{sec} x|=\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.

Passo 4

Com essa simplificação, a expressão do limite para x próximo de 2\pi pode ser escrita como
\frac{\sin^{2}x+\dfrac{1}{\cos x}}{\cos^{2}x+6\cos x+3}.
Todas as funções envolvidas nessa forma (potências de \sin e \cos, a função \dfrac{1}{\cos x} em uma vizinhança onde \cos x\ne0, e soma e quociente com denominador não nulo) são contínuas nesse ponto. Portanto podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=2\pi.

Passo 5

Substituindo x=2\pi:
  • \sin^{2}(2\pi)=0^{2}=0.
  • \dfrac{1}{\cos(2\pi)}=\dfrac{1}{1}=1.
  • No denominador \cos^{2}(2\pi)+6\cos(2\pi)+3=1^{2}+6\cdot1+3=1+6+3=10.
Assim a expressão no ponto é
\frac{0+1}{10}=\frac{1}{10}.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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