1. \lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{n}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\ldots+\frac{a_{n}}{x^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
y=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n}
e pede o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty} y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os a_{k} são coeficientes (assume-se números reais).
  • n é um inteiro não negativo (grau “formal” indicado).
  • Queremos o comportamento de y quando x cresce sem limite, isto é x\to+\infty.

Passo 2

Fatoro o termo de maior potência de x (isso é uma técnica padrão para estudar limites de polinómios):
y=x^{n}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\frac{a_{2}}{x^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{x^{n}}\right).
Explicação: foi tirado x^{n} em evidência porque cada termo a_{k}x^{n-k} pode ser escrito como x^{n}\cdot\big(a_{k}x^{-k}\big)=x^{n}\cdot\frac{a_k}{x^{k}}.

Passo 3

Mostro que cada termo \dfrac{a_{k}}{x^{k}} com k\ge 1 tende a zero quando x\to+\infty.
Motivo prático e intuitivo: \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty; portanto \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 para qualquer k\ge1. Como multiplicar por uma constante a_{k} só escala esse valor, tem-se
\lim_{x\to+\infty}\frac{a_{k}}{x^{k}}=0\qquad\text{para todo }k\ge1.

Passo 4

Uso a propriedade de limite de soma (se cada parcela tem limite, a soma tem limite igual à soma dos limites). Assim,
\lim_{x\to+\infty}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\cdots+\frac{a_{n}}{x^{n}}\right)=a_{0}+0+\cdots+0=a_{0}.
Portanto a parte entre parênteses tende para a_{0} quando x\to+\infty.

Passo 5

Agora analiso o produto entre x^{n} e essa parte que tende a a_{0}. Há casos a considerar.
Caso A — a_{0}\neq 0:
  • Se n=0 então y=a_{0} é constante e \lim_{x\to+\infty}y=a_{0}.
  • Se n\ge 1 então x^{n}\to+\infty quando x\to+\infty (porque para x>0 grande, x^{n} é positivo e cresce sem limite). Como a parte entre parênteses tende a a_{0}, o produto tende a:
    • +\infty se a_{0}>0 (produto de +\infty por constante positiva),
    • -\infty se a_{0}<0 (produto de +\infty por constante negativa).
Portanto, se o coeficiente líder a_{0} for não nulo e n\ge1, o sinal de a_{0} determina se o limite é +\infty ou -\infty.
Caso B — a_{0}=0:
  • Se a_{0}=0 então o termo de maior potência x^{n} não aparece realmente; o polinómio tem grau estritamente menor. Nesse caso, defino m como o menor índice tal que a_{m}\neq 0 (ou seja, o grau real do polinómio é n-m se usar a escrita original, mas é mais simples: procurar o primeiro coeficiente não nulo da esquerda para a direita). Reescrevo o polinómio factorizando x^{n-m} ou, dito de outra forma, reduz-se o problema ao mesmo tipo anterior mas com coeficiente líder diferente de zero.
  • Procedo repetindo os passos anteriores com esse novo coeficiente líder b (o primeiro não nulo). Se todos os coeficientes forem zero (polinómio identicamente zero), então y\equiv 0 e o limite é 0.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se y=0\cdot x^{3}+5x^{2}+\cdots, ignora-se o 0\cdot x^{3} e aplica-se a análise ao termo 5x^{2} como líder: aqui 5>0 e grau \ge1 dá limite +\infty.

Passo 6

Conclusão geral e prática — como aplicar na prova, passo a passo:
  1. Verificar o maior expoente com coeficiente não nulo (o grau real do polinómio).
  2. Se esse grau for 0 (polinómio constante), o limite é simplesmente esse valor constante.
  3. Se esse grau for >0, olhar o coeficiente líder b:
    • Se b>0 então \lim_{x\to+\infty}y=+\infty.
    • Se b<0 então \lim_{x\to+\infty}y=-\infty.
  4. Se todos os coeficientes são zero, o limite é 0.
Dica prática rápida: no infinito positivo só conta o termo de maior potência não nulo; o resto vira “ruído” que desaparece quando divide-se por essa potência.

Resposta

Se todos os coeficientes a_{0},\dots,a_{n} são zero então \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=0.
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for 0 (polinómio constante igual a c) então \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=c.
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for >0 e o coeficiente líder for b então
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=+\infty se b>0 e
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=-\infty se b<0.

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