Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede o valor do limite
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os
são coeficientes (assume-se números reais). -
é um inteiro não negativo (grau “formal” indicado). - Queremos o comportamento de
quando cresce sem limite, isto é .
Passo 2
Fatoro o termo de maior potência de
(isso é uma técnica padrão para estudar limites de polinómios):
Explicação: foi tirado
em evidência porque cada termo
pode ser escrito como
.
Passo 3
Mostro que cada termo
com
tende a zero quando
.
Motivo prático e intuitivo:
quando
; portanto
para qualquer
. Como multiplicar por uma constante
só escala esse valor, tem-se
Passo 4
Uso a propriedade de limite de soma (se cada parcela tem limite, a soma tem limite igual à soma dos limites). Assim,
Portanto a parte entre parênteses tende para
quando
.
Passo 5
Agora analiso o produto entre
e essa parte que tende a
. Há casos a considerar.
Caso A —
:
- Se
então é constante e - Se
então quando (porque para grande, é positivo e cresce sem limite). Como a parte entre parênteses tende a , o produto tende a: -
se (produto de por constante positiva), -
se (produto de por constante negativa).
-
Portanto, se o coeficiente líder
for não nulo e
, o sinal de
determina se o limite é
ou
.
Caso B —
:
- Se
então o termo de maior potência não aparece realmente; o polinómio tem grau estritamente menor. Nesse caso, defino como o menor índice tal que (ou seja, o grau real do polinómio é se usar a escrita original, mas é mais simples: procurar o primeiro coeficiente não nulo da esquerda para a direita). Reescrevo o polinómio factorizando ou, dito de outra forma, reduz-se o problema ao mesmo tipo anterior mas com coeficiente líder diferente de zero. - Procedo repetindo os passos anteriores com esse novo coeficiente líder
(o primeiro não nulo). Se todos os coeficientes forem zero (polinómio identicamente zero), então e o limite é .
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
, ignora-se o
e aplica-se a análise ao termo
como líder: aqui
e grau
dá limite
.
Passo 6
Conclusão geral e prática — como aplicar na prova, passo a passo:
- Verificar o maior expoente com coeficiente não nulo (o grau real do polinómio).
- Se esse grau for
(polinómio constante), o limite é simplesmente esse valor constante. - Se esse grau for
, olhar o coeficiente líder : - Se
então . - Se
então .
- Se
- Se todos os coeficientes são zero, o limite é
.
Dica prática rápida: no infinito positivo só conta o termo de maior potência não nulo; o resto vira “ruído” que desaparece quando divide-se por essa potência.
Resposta
Se todos os coeficientes
são zero então
.
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for (polinómio constante igual a
) então
.
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for e o coeficiente líder for
então
se
e
se
.
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for
Se o maior expoente com coeficiente não nulo for