- Exemplo N1. Calcular
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se o valor do limite
. - A expressão dada é um polinômio em
: . - Não há outras condições; o limite é quando
tende para (ou seja, cresce sem limite, assumindo valores muito grandes e positivos).
Passo 2
Fatorar a maior potência de
é uma técnica padrão para estudar o comportamento à medida que
. Vamos identificar a maior potência presente no polinômio (que é
) e colocar isso em evidência:
Essa igualdade é só uma factorização algébrica:
multiplicando cada termo dentro do parêntese retorna o polinômio original.
Passo 3
Explicar as propriedades de limite que vamos usar (de forma prática e direta):
- Se
existe e é finito, e existe (pode ser finito ou ), então , interpretando de forma usual (por exemplo, vezes um número positivo finito dá ). - O limite da soma é a soma dos limites quando cada limite existe (finito).
Vamos aplicar isso ao produtovezes o parêntese.
Passo 4
Calcular o limite dos termos dentro do parêntese separadamente:
-
. Razoamento: conforme cresce sem fim, o denominador cresce e a fração tende a zero. -
. Mesmo raciocínio, o denominador cresce ainda mais rápido, então a fração vai a zero.
Portanto, somando os limites:
Passo 5
Calcular o limite de
:
porque
cresce sem limite quando
cresce sem limite (para
grande,
é grande e positivo).
Passo 6
Combinar os resultados usando a propriedade do produto de limites:
- O fator externo tende para
. - O fator dentro do parêntese tende para o número finito e positivo
.
Logo o produto tende para, pois multiplicado por um número real positivo é . Em símbolos:
Passo 7
(Seguimento intuitivo/alternativo e útil para a prova) Uma maneira ainda mais direta para prova sem manipular regras finas:
- Para todo
tem-se e , então para
Como
, pela comparação (uma função maior do que outra que vai para
também deve ir para
), conclui-se que o limite da expressão original é
. Essa estratégia de comparação é muito prática em provas rápidas.