1. Exemplo N1. Calcular \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(7 x^{3}+8 x^{2}+\frac{1}{2}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{3}\left(7+\frac{8}{x}+\frac{1}{2 x^{3}}\right)=+\infty

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(7x^{3}+8x^{2}+\frac{1}{2}\right).
  • A expressão dada é um polinômio em x: \;7x^{3}+8x^{2}+\dfrac{1}{2}.
  • Não há outras condições; o limite é quando x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, assumindo valores muito grandes e positivos).

Passo 2

Fatorar a maior potência de x é uma técnica padrão para estudar o comportamento à medida que x\to+\infty. Vamos identificar a maior potência presente no polinômio (que é x^{3}) e colocar isso em evidência:
\lim_{x\to+\infty}\left(7x^{3}+8x^{2}+\frac{1}{2}\right) = \lim_{x\to+\infty} x^{3}\!\left(7+\frac{8}{x}+\frac{1}{2x^{3}}\right).
Essa igualdade é só uma factorização algébrica: x^{3} multiplicando cada termo dentro do parêntese retorna o polinômio original.

Passo 3

Explicar as propriedades de limite que vamos usar (de forma prática e direta):
  • Se \lim_{x\to a} g(x)=L existe e é finito, e \lim_{x\to a} f(x)=M existe (pode ser finito ou \pm\infty), então \lim_{x\to a} f(x)g(x)=M\cdot L, interpretando M\cdot L de forma usual (por exemplo, +\infty vezes um número positivo finito dá +\infty).
  • O limite da soma é a soma dos limites quando cada limite existe (finito).
    Vamos aplicar isso ao produto x^{3} vezes o parêntese.

Passo 4

Calcular o limite dos termos dentro do parêntese separadamente:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{8}{x}=0. Razoamento: conforme x cresce sem fim, o denominador cresce e a fração tende a zero.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^{3}}=0. Mesmo raciocínio, o denominador cresce ainda mais rápido, então a fração vai a zero.
    Portanto, somando os limites:
\lim_{x\to+\infty}\left(7+\frac{8}{x}+\frac{1}{2x^{3}}\right) =7+0+0=7.

Passo 5

Calcular o limite de x^{3}:
\lim_{x\to+\infty} x^{3} = +\infty,
porque x^{3} cresce sem limite quando x cresce sem limite (para x>0 grande, x^{3} é grande e positivo).

Passo 6

Combinar os resultados usando a propriedade do produto de limites:
  • O fator externo tende para +\infty.
  • O fator dentro do parêntese tende para o número finito e positivo 7.
    Logo o produto tende para +\infty, pois +\infty multiplicado por um número real positivo é +\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to+\infty} x^{3}\!\left(7+\frac{8}{x}+\frac{1}{2x^{3}}\right) = (+\infty)\cdot 7 = +\infty.

Passo 7

(Seguimento intuitivo/alternativo e útil para a prova) Uma maneira ainda mais direta para prova sem manipular regras finas:
  • Para todo x\ge 1 tem-se \dfrac{8}{x}\ge 0 e \dfrac{1}{2x^{3}}\ge 0, então para x\ge 1
7x^{3}+8x^{2}+\frac{1}{2} \ge 7x^{3}.
Como \lim_{x\to+\infty}7x^{3}=+\infty, pela comparação (uma função maior do que outra que vai para +\infty também deve ir para +\infty), conclui-se que o limite da expressão original é +\infty. Essa estratégia de comparação é muito prática em provas rápidas.

Resposta

+\infty

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