Mostre que o polinômio P(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raíz real no intervalo (0,1).
Mostre que os gráficos das funções f(x)=e^{x} e g(x)=x+2 se intersectam para algum x \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que o polinômio P(x)=x^3+x-1 possui pelo menos uma raiz em (0,1) e mostrar que as funções f(x)=e^x e g(x)=x+2 têm um ponto de interseção para algum x\ge 0. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante a existência de raízes de funções contínuas quando há mudança de sinal num intervalo.

Passo 2

O polinômio P é contínuo em [0,1] por ser soma de potências de x. Calculando:
P(0) = -1,\quad P(1) = 1.
Como P(0)<0<P(1), o Teorema do Valor Intermediário assegura que existe \alpha\in(0,1) tal que P(\alpha)=0.

Passo 3

Para as funções f e g definimos
h(x)=f(x)-g(x)=e^x-(x+2).
Note que h é contínua em [0,2]. Calculamos:
h(0) = -1,\quad h(2) = e^2 - 4 > 0.
Há mudança de sinal em [0,2].

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \beta\in(0,2)\subset[0,\infty) tal que h(\beta)=0, ou seja,
e^\beta = \beta + 2.
Assim os gráficos de y=e^x e y=x+2 se intersectam em x=\beta.

Resposta

O polinômio P tem ao menos uma raiz real em (0,1). E existe \beta\ge0 tal que e^\beta = \beta + 2, isto é, os gráficos de f e g se intersectam.

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