Mostre que o polinômio
tem ao menos uma raíz real no intervalo
.
Mostre que os gráficos das funções
e
se intersectam para algum
.
Mostre que os gráficos das funções
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que o polinômio
possui pelo menos uma raiz em
e mostrar que as funções
e
têm um ponto de interseção para algum
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante a existência de raízes de funções contínuas quando há mudança de sinal num intervalo.
Passo 2
O polinômio
é contínuo em
por ser soma de potências de
. Calculando:
Como
, o Teorema do Valor Intermediário assegura que existe
tal que
.
Passo 3
Para as funções
e
definimos
Note que
é contínua em
. Calculamos:
Há mudança de sinal em
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
, ou seja,
Assim os gráficos de
e
se intersectam em
.
Resposta
O polinômio
tem ao menos uma raiz real em
. E existe
tal que
, isto é, os gráficos de
e
se intersectam.