\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \ln x

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\rightarrow\infty} e^{-x}\ln x.
Informações dadas no enunciado: a expressão é o produto de e^{-x} e \ln x e o limite é quando x tende a +\infty. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de maneira mais conveniente para comparar crescimento de termos. Como e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, temos
e^{-x}\ln x=\frac{\ln x}{e^{x}}.
Agora analisamos os limites das partes separadas quando x\to\infty: \ln x\to\infty e e^{x}\to\infty. Portanto a expressão está na forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 3

Vou usar a Regra de L’Hôpital para resolver a indeterminação \infty/\infty. Enunciado (em palavras simples): se f e g são funções diferenciáveis e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou 0), e se \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos aplicar com f(x)=\ln x e g(x)=e^{x} porque ambas são diferenciáveis para x>0 e estamos indo para +\infty.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
f'(x)=(\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad g'(x)=(e^{x})'=e^{x}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x e^{x}}.

Passo 5

Agora avaliamos \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x e^{x}}. Note que para x\ge 1 temos e^{x}\ge 1, então x e^{x}\ge x. Como \lim_{x\to\infty} x= \infty, segue que x e^{x}\to\infty. (Intuição: e^{x} cresce muito rápido e multiplicado por x só aumenta isso.)

Passo 6

Se o denominador x e^{x}\to\infty, então o inverso \dfrac{1}{x e^{x}}\to 0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x e^{x}}=0,
e, voltando à expressão original,
\lim_{x\rightarrow\infty} e^{-x}\ln x=0.

Resposta

0

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