Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor do limite
Informações dadas no enunciado: a expressão é o produto de
e
e o limite é quando
tende a
. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Reescrevemos a expressão de maneira mais conveniente para comparar crescimento de termos. Como
, temos
Agora analisamos os limites das partes separadas quando
:
e
. Portanto a expressão está na forma indeterminada
.
Passo 3
Vou usar a Regra de L’Hôpital para resolver a indeterminação
. Enunciado (em palavras simples): se
e
são funções diferenciáveis e
(ou
), e se
existe (ou é
), então
Aqui podemos aplicar com
e
porque ambas são diferenciáveis para
e estamos indo para
.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias:
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 5
Agora avaliamos
. Note que para
temos
, então
. Como
, segue que
. (Intuição:
cresce muito rápido e multiplicado por
só aumenta isso.)
Passo 6
Se o denominador
, então o inverso
. Portanto
e, voltando à expressão original,