\lim _{x \rightarrow \infty} x^{3} e^{-x^{2}}

Passo 1

O problema pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to\infty} x^{3} e^{-x^{2}}.
Informações dadas/observações imediatas:
x^{3}\to\infty\quad\text{quando}\quad x\to\infty,
e^{-x^{2}}=\frac{1}{e^{x^{2}}}\to 0\quad\text{quando}\quad x\to\infty.
Portanto a expressão é um produto do tipo “infinito vezes zero”, ou seja uma forma indeterminada. Não vamos resolver ainda — só listei o que o enunciado dá.

Passo 2

Transformação útil: escrever o produto como quociente para obter uma forma que permita manipulação mais direta. Escrevo
x^{3} e^{-x^{2}}=\frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}.
Agora, ao observar o comportamento das partes, temos numerador tendendo a \infty e denominador tendendo a \infty, isto é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Essa forma permite usar uma regra que transforma a avaliação do limite em algo mais simples (vou explicar essa regra no próximo passo).

Passo 3

Explicando a ferramenta que vou usar (regra): se temos funções f(x) e g(x) tais que \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambas iguais a 0), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty). Essa é a regra que vamos aplicar repetidas vezes para simplificar a expressão. É uma técnica prática em provas: ao obter \infty/\infty podemos derivar numerador e denominador até chegar a algo fácil de avaliar.

Passo 4

Aplicando a regra à função \dfrac{x^{3}}{e^{x^{2}}}:
  • Derivada do numerador x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada do denominador e^{x^{2}} é 2x e^{x^{2}} (regra da cadeia: \frac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x).
Portanto, pelo passo anterior,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2x e^{x^{2}}}.
Simplificando a fração (cancelando um fator x quando x\neq0):
\frac{3x^{2}}{2x e^{x^{2}}}=\frac{3x}{2 e^{x^{2}}}.
Ainda temos uma indeterminação do tipo \infty/\infty quando x\to\infty, então podemos aplicar a regra de novo.

Passo 5

Aplicando a regra pela segunda vez à expressão \dfrac{3x}{2 e^{x^{2}}}:
  • Derivada do numerador 3x é 3.
  • Derivada do denominador 2 e^{x^{2}} é 2\cdot \frac{d}{dx}e^{x^{2}}=2\cdot(2x e^{x^{2}})=4x e^{x^{2}}.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{2 e^{x^{2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3}{4x e^{x^{2}}}.

Passo 6

Agora analisar a expressão obtida:
\frac{3}{4x e^{x^{2}}}.
Para x\to\infty o termo x e^{x^{2}} no denominador tende a \infty (porque e^{x^{2}} cresce muito rápido). Assim o quociente tem numerador constante 3 e denominador que vai para \infty, logo o limite é 0:
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{4x e^{x^{2}}}=0.
Portanto, retrocedendo através das igualdades, o limite original também é 0.

Passo 7

Interpretação intuitiva e generalização rápida (para te dar segurança na prova): exponenciais do tipo e^{x^{2}} crescem bem mais rápido que qualquer polinômio como x^{3}. Uma forma prática de provar isso em exercícios é justamente escrever \dfrac{x^{n}}{e^{x^{2}}} e aplicar a regra de l’Hôpital repetidas vezes até eliminar o polinômio. Depois de derivar suficientemente vezes, sobra uma constante sobre algo que cresce sem limite, dando 0. Assim, concluímos que
\lim_{x\to\infty} x^{3} e^{-x^{2}}=0.

Resposta

0

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