Passo 1
O problema pede calcular o valor do limite
Informações dadas/observações imediatas:
Portanto a expressão é um produto do tipo “infinito vezes zero”, ou seja uma forma indeterminada. Não vamos resolver ainda — só listei o que o enunciado dá.
Passo 2
Transformação útil: escrever o produto como quociente para obter uma forma que permita manipulação mais direta. Escrevo
Agora, ao observar o comportamento das partes, temos numerador tendendo a
e denominador tendendo a
, isto é uma indeterminação do tipo
. Essa forma permite usar uma regra que transforma a avaliação do limite em algo mais simples (vou explicar essa regra no próximo passo).
Passo 3
Explicando a ferramenta que vou usar (regra): se temos funções
e
tais que
(ou ambas iguais a
), e
e
são diferenciáveis perto de
com
, então
quando o limite do lado direito existe (ou é
). Essa é a regra que vamos aplicar repetidas vezes para simplificar a expressão. É uma técnica prática em provas: ao obter
podemos derivar numerador e denominador até chegar a algo fácil de avaliar.
Passo 4
Aplicando a regra à função
:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é (regra da cadeia: ).
Portanto, pelo passo anterior,
Simplificando a fração (cancelando um fator
quando
):
Ainda temos uma indeterminação do tipo
quando
, então podemos aplicar a regra de novo.
Passo 5
Aplicando a regra pela segunda vez à expressão
:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Logo,
Passo 6
Agora analisar a expressão obtida:
Para
o termo
no denominador tende a
(porque
cresce muito rápido). Assim o quociente tem numerador constante
e denominador que vai para
, logo o limite é
:
Portanto, retrocedendo através das igualdades, o limite original também é
.
Passo 7
Interpretação intuitiva e generalização rápida (para te dar segurança na prova): exponenciais do tipo
crescem bem mais rápido que qualquer polinômio como
. Uma forma prática de provar isso em exercícios é justamente escrever
e aplicar a regra de l’Hôpital repetidas vezes até eliminar o polinômio. Depois de derivar suficientemente vezes, sobra uma constante sobre algo que cresce sem limite, dando
. Assim, concluímos que
Resposta
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