\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}\left(\cos \left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2}

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos é dado.
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável vai para \,x\to 0^{+}, ou seja, aproximamo-nos de 0 por valores positivos de x.
  • A função envolvida é o produto de \sqrt{x} e do quadrado do cosseno \left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2}.
  • Note que \sqrt{x} é bem definida e positiva para x>0.
  • O fator \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right) oscila rapidamente quando x\to 0^{+}, mas ainda assim seu quadrado tem valores entre \,0 e \,1.

Passo 2

Mostrar que o fator oscilante é limitado entre \,0 e \,1.
Para qualquer número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Elevando ao quadrado (que preserva a desigualdade quando os lados são não negativos) obtemos
0 \le \bigl(\cos t\bigr)^{2} \le 1.
Tomando t=\dfrac{\pi}{x} obtemos, para todo x>0,
0 \le \left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2} \le 1.

Passo 3

Multiplicar a desigualdade pelo fator \sqrt{x}, justificando a preservação da desigualdade.
Como estamos considerando x\to 0^{+}, temos x>0 nas proximidades de 0 e assim \sqrt{x}>0. Multiplicando a desigualdade da Passo 2 por \sqrt{x} (número positivo) obtemos, para todo x>0,
0 \le \sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2} \le \sqrt{x}.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze theorem) para obter o limite.
Recordando o Teorema do Confronto: se f(x)\le g(x)\le h(x) numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no ponto) e \lim f(x)=\lim h(x)=L, então \lim g(x)=L.
Aqui temos, para x>0,
0 \le \sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2} \le \sqrt{x}.
Calculamos os limites das funções que “confrontam”:
\lim_{x\to 0^{+}} 0 = 0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x} = 0.
Como os limites das funções extremas são ambos 0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2} = 0.

Passo 5

Comentário didático e alternativa curta.
Intuição: apesar de \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right) oscilar infinitamente quando x\to 0^{+}, seu quadrado permanece entre 0 e 1. O fator \sqrt{x} tende para 0 e “vence” qualquer oscilação limitada, fazendo o produto ir para 0.
Alternativa tradicional: usar valor absoluto e a desigualdade \left|\sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2}\right| \le \sqrt{x}, e concluir do mesmo modo que o limite do valor absoluto é 0, logo o limite da função é 0.

Resposta

0

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