Multiplicar a desigualdade pelo fator \sqrt{x}, justificando a preservação da desigualdade.
Como estamos considerando x\to 0^{+}, temos x>0 nas proximidades de 0 e assim \sqrt{x}>0. Multiplicando a desigualdade da Passo 2 por \sqrt{x} (número positivo) obtemos, para todo x>0,
Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze theorem) para obter o limite.
Recordando o Teorema do Confronto: se f(x)\le g(x)\le h(x) numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no ponto) e \lim f(x)=\lim h(x)=L, então \lim g(x)=L.
Intuição: apesar de \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right) oscilar infinitamente quando x\to 0^{+}, seu quadrado permanece entre 0 e 1. O fator \sqrt{x} tende para 0 e “vence” qualquer oscilação limitada, fazendo o produto ir para 0.
Alternativa tradicional: usar valor absoluto e a desigualdade \left|\sqrt{x}\left(\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^{2}\right| \le \sqrt{x}, e concluir do mesmo modo que o limite do valor absoluto é 0, logo o limite da função é 0.