Com respeito a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=|x-1|, responda as questões abaixo justificando.
f é uma função par ou ímpar?

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=|x-1|. A pergunta é: f é uma função par ou ímpar? Deve-se justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa ser par ou ímpar, com fórmulas e intuição geométrica:
  • Uma função g é par se, para todo x real, valer
g(-x)=g(x).
Geom. isso significa que o gráfico de g é simétrico em relação ao eixo y.
  • Uma função g é ímpar se, para todo x real, valer
g(-x)=-g(x).
Geom. isso significa que o gráfico de g é simétrico em relação à origem (rotação de 180^\circ).
Essas são as condições que vamos testar para f(x)=|x-1|.

Passo 3

Calcular f(-x). Usando a definição,
f(-x)=|-x-1|=|-(x+1)|.
Usamos a propriedade básica do valor absoluto |-a|=|a|, então
f(-x)=|x+1|.

Passo 4

Teste de paridade (ser par): comparar f(-x) com f(x). Temos
f(x)=|x-1|,\qquad f(-x)=|x+1|.
A igualdade necessária para ser par seria |x+1|=|x-1| para todo x. Isso não é verdade para todo x. Um contraexemplo simples: tomar x=2. Então
f(2)=|2-1|=|1|=1,
f(-2)=|-2-1|=|-3|=3.
Como 1\neq 3, a condição f(-x)=f(x) falha. Logo f não é par.

Passo 5

Teste de imparidade (ser ímpar): comparar f(-x) com -f(x). Temos
f(-x)=|x+1|,\qquad -f(x)=-|x-1|.
Note que f(-x)=|x+1|\ge 0 para todo x, enquanto -f(x)=-|x-1|\le 0 para todo x. Para que f(-x)=-f(x) ocorresse para todo x, precisaríamos que um valor não negativo fosse igual ao seu negativo (ou seja, ambos zero) para todo x, o que não ocorre. Um contraexemplo direto: com x=0,
f(0)=|0-1|=1,\qquad f(-0)=|0+1|=1,
e
-f(0)=-1\neq 1=f(-0).
Portanto f(-x)\neq -f(x) para todo x, então f não é ímpar.

Passo 6

Conclusão combinada: f não satisfaz a propriedade de função par nem a de função ímpar, pois já achamos contraexemplos em ambos os testes.

Passo 7

Intuição gráfica (pra fixar): o gráfico de f(x)=|x-1| é um “V” com vértice em x=1. Isso mostra que a função é simétrica em relação à reta vertical x=1, não em relação ao eixo y nem à origem. Por isso não é par nem ímpar. Vai dar tudo certo na prova — lembrar de testar as definições com um exemplo numérico é uma boa estratégia rápida.

Resposta

f não é par nem ímpar.

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