Com respeito a função
, responda as questões abaixo justificando.
é uma função par ou ímpar?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. A pergunta é:
é uma função par ou ímpar? Deve-se justificar a resposta.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa ser par ou ímpar, com fórmulas e intuição geométrica:
- Uma função
é par se, para todo real, valer
Geom. isso significa que o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
.
- Uma função
é ímpar se, para todo real, valer
Geom. isso significa que o gráfico de
é simétrico em relação à origem (rotação de
).
Essas são as condições que vamos testar para
.
Passo 3
Calcular
. Usando a definição,
Usamos a propriedade básica do valor absoluto
, então
Passo 4
Teste de paridade (ser par): comparar
com
. Temos
A igualdade necessária para ser par seria
para todo
. Isso não é verdade para todo
. Um contraexemplo simples: tomar
. Então
Como
, a condição
falha. Logo
não é par.
Passo 5
Teste de imparidade (ser ímpar): comparar
com
. Temos
Note que
para todo
, enquanto
para todo
. Para que
ocorresse para todo
, precisaríamos que um valor não negativo fosse igual ao seu negativo (ou seja, ambos zero) para todo
, o que não ocorre. Um contraexemplo direto: com
,
e
Portanto
para todo
, então
não é ímpar.
Passo 6
Conclusão combinada:
não satisfaz a propriedade de função par nem a de função ímpar, pois já achamos contraexemplos em ambos os testes.
Passo 7
Intuição gráfica (pra fixar): o gráfico de
é um “V” com vértice em
. Isso mostra que a função é simétrica em relação à reta vertical
, não em relação ao eixo
nem à origem. Por isso não é par nem ímpar. Vai dar tudo certo na prova — lembrar de testar as definições com um exemplo numérico é uma boa estratégia rápida.