Determine
e
, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede quatro composições, indicando domínio e imagem de cada uma. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que pedem:
- Calcular
, , e . - Para cada uma, indicar o domínio e a imagem.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a composição
é definida por
. O domínio de
é o conjunto dos
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
. Em símbolos:
Na prática, quando
e
são funções polinomiais/racionais simples, verificamos se alguma divisão por zero ou outra restrição aparece após compor. Também é útil conhecer a imagem (conjunto de valores) de
para decidir a imagem de
.
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Colocando em uma única fração para simplificar a escrita:
Domínio:
-
tem denominador para todo , logo . -
está definido para todos os reais, . - Portanto, todo
é permitido: .
Observação algébrica: a expressãotem denominador sempre positivo, confirmando domínio .
Imagem (intervalo de valores):
- Primeiro, a imagem de
é : quando tem-se (máximo) e quando tem-se (zero não alcançado). - Aplicando
sobre obtemos . Mais explicitamente: o maior valor ocorre em dando ; o menor é limite quando dando sem ser alcançado. - Logo a imagem de
é .
Passo 4
Calculemos
:
Expandindo o quadrado:
Domínio:
-
e estão definidos em todos os reais para os argumentos considerados, e o denominador nunca é zero (veremos abaixo), então .
Para confirmar que o denominador nunca é zero faça completar o quadrado:
que é sempre
, portanto estritamente positivo.
Imagem:
- Como
é uma função linear com coeficiente angular não nulo, (é sobrejetora). Então a imagem de é igual à imagem de sobre , isto é . - Podemos também ver os extremos pela forma completada: o denominador mínimo é
em , então o valor máximo de é (atingido em ). Para o valor tende a . Assim a imagem é .
Passo 5
Calculemos
passo a passo:
Domínio:
- Função linear sem restrições, logo
.
Imagem:
- A função
é linear com coeficiente angular , portanto é sobrejetora em . Assim a imagem é .
Passo 6
Calculemos
:
Colocando em forma simplificada:
Domínio:
- Novamente não há divisão por zero pois o denominador
é sempre . Logo .
Imagem:
- Defina
. Então e
- Para
(i.e. ) obtemos . À medida que temos (tende a 1 sem alcançá-la). Portanto a imagem é o intervalo .