Determine f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
f(x)=2 x+3, \quad g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede quatro composições, indicando domínio e imagem de cada uma. Dados fornecidos:
  • f(x)=2x+3.
  • g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}.
O que pedem:
  • Calcular f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g.
  • Para cada uma, indicar o domínio e a imagem.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a composição h = f\circ g é definida por h(x)=f(g(x)). O domínio de f\circ g é o conjunto dos x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f. Em símbolos:
\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\}.
Na prática, quando f e g são funções polinomiais/racionais simples, verificamos se alguma divisão por zero ou outra restrição aparece após compor. Também é útil conhecer a imagem (conjunto de valores) de g para decidir a imagem de f\circ g.

Passo 3

Calculemos f(g(x)) passo a passo:
f(g(x))=2\cdot g(x)+3=2\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+3.
Colocando em uma única fração para simplificar a escrita:
f(g(x))=\frac{2}{x^{2}+1}+3=\frac{2+3(x^{2}+1)}{x^{2}+1}=\frac{3x^{2}+5}{x^{2}+1}.
Domínio:
  • g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} tem denominador x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.
  • f está definido para todos os reais, \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Portanto, todo x\in\mathbb{R} é permitido: \mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.
    Observação algébrica: a expressão \dfrac{3x^{2}+5}{x^{2}+1} tem denominador sempre positivo, confirmando domínio \mathbb{R}.
Imagem (intervalo de valores):
  • Primeiro, a imagem de g é (0,1]: quando x=0 tem-se g(0)=1 (máximo) e quando |x|\to\infty tem-se g(x)\to0^+ (zero não alcançado).
  • Aplicando f(t)=2t+3 sobre t\in(0,1] obtemos 2\cdot(0,1]+3=(3,5]. Mais explicitamente: o maior valor ocorre em t=1 dando 5; o menor é limite quando t\to0^+ dando 3 sem ser alcançado.
  • Logo a imagem de f\circ g é (3,5].

Passo 4

Calculemos g(f(x)):
g(f(x))=\frac{1}{(f(x))^{2}+1}=\frac{1}{(2x+3)^{2}+1}.
Expandindo o quadrado:
g(f(x))=\frac{1}{4x^{2}+12x+9+1}=\frac{1}{4x^{2}+12x+10}.
Domínio:
  • f e g estão definidos em todos os reais para os argumentos considerados, e o denominador 4x^{2}+12x+10 nunca é zero (veremos abaixo), então \mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.
    Para confirmar que o denominador nunca é zero faça completar o quadrado:
4x^{2}+12x+10=4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}+1,
que é sempre \ge 1, portanto estritamente positivo.
Imagem:
  • Como f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função linear com coeficiente angular não nulo, f(\mathbb{R})=\mathbb{R} (é sobrejetora). Então a imagem de g\circ f é igual à imagem de g sobre \mathbb{R}, isto é (0,1].
  • Podemos também ver os extremos pela forma completada: o denominador mínimo é 1 em x=-\tfrac{3}{2}, então o valor máximo de g(f(x)) é 1 (atingido em x=-\tfrac{3}{2}). Para |x|\to\infty o valor tende a 0^+. Assim a imagem é (0,1].

Passo 5

Calculemos f(f(x)) passo a passo:
f(f(x))=2\cdot f(x)+3=2(2x+3)+3=4x+6+3=4x+9.
Domínio:
  • Função linear sem restrições, logo \mathrm{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.
Imagem:
  • A função x\mapsto 4x+9 é linear com coeficiente angular 4\neq0, portanto é sobrejetora em \mathbb{R}. Assim a imagem é \mathbb{R}.

Passo 6

Calculemos g(g(x)):
g(g(x))=\frac{1}{\big(g(x)\big)^{2}+1}=\frac{1}{\left(\dfrac{1}{x^{2}+1}\right)^{2}+1}.
Colocando em forma simplificada:
g(g(x))=\frac{1}{\dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}+1}=\frac{1}{\dfrac{1+(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}+1}.
Domínio:
  • Novamente não há divisão por zero pois o denominador (x^{2}+1)^{2}+1 é sempre >0. Logo \mathrm{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.
Imagem:
  • Defina u=x^{2}+1. Então u\in[1,\infty) e
g(g(x))=\frac{u^{2}}{u^{2}+1}=1-\frac{1}{u^{2}+1}.
  • Para u=1 (i.e. x=0) obtemos g(g(0))=\dfrac{1}{2}. À medida que u\to\infty temos g(g(x))\to1^{-} (tende a 1 sem alcançá-la). Portanto a imagem é o intervalo [\,\tfrac{1}{2},1).

Resposta

f\circ g(x)=\dfrac{3x^{2}+5}{x^{2}+1},\quad \mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(f\circ g)=(3,5]
g\circ f(x)=\dfrac{1}{4x^{2}+12x+10},\quad \mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(g\circ f)=(0,1]
f\circ f(x)=4x+9,\quad \mathrm{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(f\circ f)=\mathbb{R}
g\circ g(x)=\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}+1},\quad \mathrm{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(g\circ g)=[\tfrac{1}{2},1)

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