\lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to 1} e^{x^{3}-x}.
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função x\mapsto e^{x^{3}-x}, e a variável x tende para 1. Não há outras restrições no enunciado (a expressão está bem definida num entorno de x=1).

Passo 2

Plano de ataque (explicado passo a passo): primeiro vamos calcular o limite da parte exponencial interior, isto é \lim_{x\to 1} (x^{3}-x). Depois usaremos uma propriedade sobre composições de limites: se \lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).
Aqui f será a função exponencial f(t)=e^{t}. Vou explicar por que essa propriedade vale: uma função f é contínua em L quando \lim_{t\to L} f(t)=f(L); portanto, ao aproximar x de a, g(x) se aproxima de L e, como f é contínua em L, f(g(x)) se aproxima de f(L). A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R} (é uma função suave, dada por série de potências), então podemos aplicar a propriedade acima depois de achar o limite interior.

Passo 3

Calcular o limite interior \lim_{x\to 1} (x^{3}-x). Usamos regras básicas de limites: soma/diferença e potência são preservadas por limite quando os limites existem. Primeiro
\lim_{x\to 1} x^{3} = \bigl(\lim_{x\to 1} x\bigr)^{3} = 1^{3} = 1,
pois a função x\mapsto x^{3} é contínua (é um polinômio). Também
\lim_{x\to 1} x = 1.
Pela propriedade da diferença de limites,
\lim_{x\to 1} (x^{3}-x) = \lim_{x\to 1} x^{3} - \lim_{x\to 1} x = 1 - 1.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{x\to 1} (x^{3}-x) = 0.
Este é o valor L do qual falamos no passo do conceito de composição.

Passo 5

Agora aplicamos a continuidade da exponencial: como \lim_{x\to 1} (x^{3}-x)=0 e t\mapsto e^{t} é contínua em 0, temos
\lim_{x\to 1} e^{x^{3}-x} = e^{\;\lim_{x\to 1}(x^{3}-x)} = e^{0}.

Passo 6

Calcule e^{0}. Pela definição e propriedades da exponencial, e^{0}=1 (qualquer base positiva elevada a 0 1; no caso da base e, isso também pode ser visto pela série ou pela propriedade multiplicativa). Portanto o limite é 1.

Resposta

1

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