Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função
, e a variável
tende para
. Não há outras restrições no enunciado (a expressão está bem definida num entorno de
).
Passo 2
Plano de ataque (explicado passo a passo): primeiro vamos calcular o limite da parte exponencial interior, isto é
. Depois usaremos uma propriedade sobre composições de limites: se
e
é contínua em
, então
Aqui
será a função exponencial
. Vou explicar por que essa propriedade vale: uma função
é contínua em
quando
; portanto, ao aproximar
de
,
se aproxima de
e, como
é contínua em
,
se aproxima de
. A função exponencial
é contínua para todo
(é uma função suave, dada por série de potências), então podemos aplicar a propriedade acima depois de achar o limite interior.
Passo 3
Calcular o limite interior
. Usamos regras básicas de limites: soma/diferença e potência são preservadas por limite quando os limites existem. Primeiro
pois a função
é contínua (é um polinômio). Também
Pela propriedade da diferença de limites,
Passo 4
Concluímos que
Este é o valor
do qual falamos no passo do conceito de composição.
Passo 5
Agora aplicamos a continuidade da exponencial: como
e
é contínua em
, temos
Passo 6
Calcule
. Pela definição e propriedades da exponencial,
(qualquer base positiva elevada a
dá
; no caso da base
, isso também pode ser visto pela série ou pela propriedade multiplicativa). Portanto o limite é
.