Questão: Encontre as linhas de fluxo do campo de vetores
, x). Faça um esboço exibindo o padrão.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as linhas de fluxo (streamlines) do campo vetorial
e fazer um esboço exibindo o padrão.
Informações dadas: a componente -do-campo é
e a componente
-do-campo é
.
O que se quer: a família de curvas no plano cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor (e um comentário/esboço do padrão dessas curvas).
Informações dadas: a componente
O que se quer: a família de curvas no plano cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor
Passo 2
O que são “linhas de fluxo” e como encontrá-las (explicação didática).
Uma linha de fluxo é uma curva tal que a velocidade da curva é paralela ao campo em cada ponto, ou seja,
Uma linha de fluxo é uma curva
para algum escalar
. Uma forma prática e usual de obter a equação cartesiana da linha é observar que as tangentes são proporcionais às componentes do campo, o que dá a equação diferencial ordinária
Isso vem da razão
quando
é paralelo a
. Então, para achar as linhas de fluxo, basta resolver essa EDO.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso campo.
Aqui e
, logo a EDO das linhas de fluxo é
Aqui
desde que
. Essa é uma EDO separável — ótima notícia porque separáveis são fáceis de integrar.
Passo 4
Resolver a EDO separável passo a passo.
Reescrevemos como
Reescrevemos
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar a integral detalhadamente:
Calcule cada integral:
e
Incluímos a constante de integração
. Assim
Passo 5
Manipular algebricamente para uma forma geométrica mais clara.
Multiplicando tudo por 2 para ficar sem frações:
Multiplicando tudo por 2 para ficar sem frações:
onde
é outra constante arbitrária. Reorganizando:
Agora completamos o quadrado em
:
Substituindo:
ou
Definindo
(uma constante não negativa, pois é quadrado de raio), obtemos a família
Portanto, as linhas de fluxo são círculos centrados em
com raio
.
Passo 6
Verificação da orientação (sentido do fluxo) e comentário sobre pontos especiais.
Uma boa verificação é parametrizar um círculo da família por :
Uma boa verificação é parametrizar um círculo da família por
Então
Avalie
nesse ponto:
Observa que
. Isso significa que, ao tomar
crescente, a velocidade do ponto sobre o círculo coincide com o vetor campo — ou seja, o sentido do fluxo percorre os círculos no sentido anti-horário (sentido positivo de
).
Ponto especial: para obtemos o ponto
, onde
, ou seja, é um ponto de equilíbrio (centro).
Ponto especial: para
Passo 7
Interpretação geométrica e esboço mental do padrão.
- As linhas de fluxo são todos os círculos centrados em
. - O centro
é um ponto crítico (campo nulo). - As trajetórias são percorridas no sentido anti-horário.
Para esboçar: desenhe o pontocomo centro e várias circunferências concêntricas ao redor; nas circunferências coloque setas no sentido anti-horário. Onde a circunferência cruza a reta (pontos ) o vetor é vertical, consistente com a tangente vertical da circunferência nesses pontos.
Resposta
Orientação das linhas: sentido anti-horário; ponto crítico (campo nulo) em