5^{\mathrm{a}} Questão: Encontre as linhas de fluxo do campo de vetores F(x, y)=(1-y, x). Faça um esboço exibindo o padrão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as linhas de fluxo (streamlines) do campo vetorial F(x,y)=(1-y,\;x) e fazer um esboço exibindo o padrão.
Informações dadas: a componente x-do-campo é P(x,y)=1-y e a componente y-do-campo é Q(x,y)=x.
O que se quer: a família de curvas no plano cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor F (e um comentário/esboço do padrão dessas curvas).

Passo 2

O que são “linhas de fluxo” e como encontrá-las (explicação didática).
Uma linha de fluxo é uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que a velocidade da curva é paralela ao campo em cada ponto, ou seja,
\frac{d\gamma}{dt} = \lambda(t)\,F(\gamma(t))
para algum escalar \lambda(t)\ne0. Uma forma prática e usual de obter a equação cartesiana da linha é observar que as tangentes são proporcionais às componentes do campo, o que dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}.
Isso vem da razão \dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{Q}{P} quando (dx/dt,dy/dt) é paralelo a (P,Q). Então, para achar as linhas de fluxo, basta resolver essa EDO.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso campo.
Aqui P(x,y)=1-y e Q(x,y)=x, logo a EDO das linhas de fluxo é
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1-y},
desde que 1-y\neq0. Essa é uma EDO separável — ótima notícia porque separáveis são fáceis de integrar.

Passo 4

Resolver a EDO separável passo a passo.
Reescrevemos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{1-y} como
(1-y)\,dy = x\,dx.
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar a integral detalhadamente:
\int (1-y)\,dy = \int x\,dx.
Calcule cada integral:
\int (1-y)\,dy = \int 1\,dy - \int y\,dy = y - \frac{y^{2}}{2}
e
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Incluímos a constante de integração C. Assim
y - \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Manipular algebricamente para uma forma geométrica mais clara.
Multiplicando tudo por 2 para ficar sem frações:
2y - y^{2} = x^{2} + C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária. Reorganizando:
x^{2} + y^{2} - 2y = C'.
Agora completamos o quadrado em y:
y^{2} - 2y = (y-1)^{2} - 1.
Substituindo:
x^{2} + (y-1)^{2} - 1 = C',
ou
x^{2} + (y-1)^{2} = C' + 1.
Definindo R^{2}=C'+1 (uma constante não negativa, pois é quadrado de raio), obtemos a família
x^{2} + (y-1)^{2} = R^{2}, \qquad R\ge 0.
Portanto, as linhas de fluxo são círculos centrados em (0,1) com raio R.

Passo 6

Verificação da orientação (sentido do fluxo) e comentário sobre pontos especiais.
Uma boa verificação é parametrizar um círculo da família por \theta:
x(\theta)=R\cos\theta,\qquad y(\theta)=1+R\sin\theta.
Então
\frac{dx}{d\theta}=-R\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=R\cos\theta.
Avalie F nesse ponto:
F(x(\theta),y(\theta))=(1-y,\;x)=(-R\sin\theta,\;R\cos\theta).
Observa que F(x(\theta),y(\theta))=(dx/d\theta,dy/d\theta). Isso significa que, ao tomar \theta crescente, a velocidade do ponto sobre o círculo coincide com o vetor campo — ou seja, o sentido do fluxo percorre os círculos no sentido anti-horário (sentido positivo de \theta).
Ponto especial: para R=0 obtemos o ponto (0,1), onde F(0,1)=(0,0), ou seja, é um ponto de equilíbrio (centro).

Passo 7

Interpretação geométrica e esboço mental do padrão.
  • As linhas de fluxo são todos os círculos centrados em (0,1).
  • O centro (0,1) é um ponto crítico (campo nulo).
  • As trajetórias são percorridas no sentido anti-horário.
    Para esboçar: desenhe o ponto (0,1) como centro e várias circunferências concêntricas ao redor; nas circunferências coloque setas no sentido anti-horário. Onde a circunferência cruza a reta y=1 (pontos (\pm R,1)) o vetor é vertical, consistente com a tangente vertical da circunferência nesses pontos.

Resposta

x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2},\; R\ge 0.
Orientação das linhas: sentido anti-horário; ponto crítico (campo nulo) em (0,1).

Exercícios relacionados