Utilize o método das secantes para estimar a raiz real da função
, contida no intervalo
. Considere
e uma precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método das secantes para estimar a raiz real da função
que está no intervalo
. Dados fornecidos:
,
e precisão
.
Informações relevantes do enunciado: a função é , os chute iniciais são
e
dados, e a tolerância pedida é
. A raiz verdadeira nesse intervalo (se você fatorar) é
, mas vamos estimá‑la pelo método das secantes usando apenas iteracões numéricas conforme pedido.
Informações relevantes do enunciado: a função é
Passo 2
Explicando o método das secantes (aula rápida e direta): a ideia é aproximar a derivada por uma secante entre dois pontos e usar isso para obter um novo ponto melhor. A fórmula iterativa é
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; - o quociente
é a inclinação da secante (aproximação da derivada), e reescrevendo chegamos na fórmula acima.
Critério de parada (escolha e justificativa): como o enunciado diz “precisão de
” e não especifica se é em
ou em
, eu vou usar o critério comum de parada para métodos de ponto fixo/secante: parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfazer
Também comentarei quando
ocorrer (útil para ver a qualidade da aproximação). Vamos aplicar passo a passo com os valores dados.
Passo 3
Calculemos os valores iniciais:
Anotações: sempre compute
substituindo o
na expressão
. Guardei
e
.
Passo 4
Primeira iteração (calcular
) usando a fórmula das secantes:
Substituindo os números:
Calcule a razão:
Logo
(esse valor é exatamente
mas o decimal é suficiente). Agora o valor da função:
Observação: o sinal de
mudou para positivo, ou seja passamos de
para
.
Passo 5
Segunda iteração (calcular
):
Substituindo valores (usando decimais suficientes):
Calcule os termos:
Assim
Portanto
Agora
:
Resumo:
e
.
Passo 6
Terceira iteração (calcular
):
Substituindo (valores aproximados):
A correção é
Então
Calcule
aproximadamente (útil para comparar com a tolerância):
Verificações do critério:
- diferença entre últimas duas aproximações:
→ ainda não satisfaz o critério ; - porém
→ se aceitássemos critério em função do resíduo, já teríamos precisão requerida. Mas escolhemos ficar com o critério em (diferença entre iterações), portanto precisamos de mais uma iteração.
Passo 7
Quarta iteração (calcular
) para cumprir
:
Usando valores aproximados:
A correção é
Portanto
Agora a diferença entre iterações:
logo o critério escolhido é satisfeito. Além disso
será ainda menor (próximo de zero).
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido: após as iterações o método das secantes aproximou muito bem a raiz verdadeira
. Fizemos iterações até que a diferença entre aproximações consecutivas ficasse menor que
. Dá um alívio ver que, mesmo saindo de
e
, o método converge rápido para perto de
. Você consegue aplicar isso na prova: escreva a fórmula da secante, calcule
nos chutes iniciais, faça as substituições e repita até
tolerância.