Utilize o método das secantes para estimar a raiz real da função f(x)=x^{2}+x-6, contida no intervalo [1,2]. Considere x_{0}=1,5, x_{1}=1,7 e uma precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método das secantes para estimar a raiz real da função f(x)=x^{2}+x-6 que está no intervalo [1,2]. Dados fornecidos: x_{0}=1,5, x_{1}=1,7 e precisão \;10^{-4}.
Informações relevantes do enunciado: a função é f(x)=x^{2}+x-6, os chute iniciais são x_{0} e x_{1} dados, e a tolerância pedida é \;10^{-4}. A raiz verdadeira nesse intervalo (se você fatorar) é x=2, mas vamos estimá‑la pelo método das secantes usando apenas iteracões numéricas conforme pedido.

Passo 2

Explicando o método das secantes (aula rápida e direta): a ideia é aproximar a derivada por uma secante entre dois pontos e usar isso para obter um novo ponto melhor. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}} é a inclinação da secante (aproximação da derivada), e reescrevendo chegamos na fórmula acima.
Critério de parada (escolha e justificativa): como o enunciado diz “precisão de \;10^{-4}” e não especifica se é em x ou em f(x), eu vou usar o critério comum de parada para métodos de ponto fixo/secante: parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfazer
|x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4}.
Também comentarei quando |f(x_{n})|<10^{-4} ocorrer (útil para ver a qualidade da aproximação). Vamos aplicar passo a passo com os valores dados.

Passo 3

Calculemos os valores iniciais:
f(1,5)=1,5^{2}+1,5-6=2,25+1,5-6=-2,25.
f(1,7)=1,7^{2}+1,7-6=2,89+1,7-6=-1,41.
Anotações: sempre compute f substituindo o x na expressão x^{2}+x-6. Guardei f(x_{0})=-2,25 e f(x_{1})=-1,41.

Passo 4

Primeira iteração (calcular x_{2}) usando a fórmula das secantes:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo os números:
x_{2}=1,7-(-1,41)\cdot\frac{1,7-1,5}{-1,41-(-2,25)} =1,7+\frac{1,41\cdot 0,2}{0,84}.
Calcule a razão:
\frac{1,41\cdot 0,2}{0,84}=\frac{0,282}{0,84}=0,3357142857\ldots
Logo
x_{2}=1,7+0,3357142857\ldots=2,0357142857\ldots
(esse valor é exatamente \tfrac{57}{28} mas o decimal é suficiente). Agora o valor da função:
f(x_{2})=x_{2}^{2}+x_{2}-6=\frac{141}{784}\approx0,179845.
Observação: o sinal de f mudou para positivo, ou seja passamos de f(x_{1})<0 para f(x_{2})>0.

Passo 5

Segunda iteração (calcular x_{3}):
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo valores (usando decimais suficientes):
x_{3}=2,0357142857-0,179845\cdot\frac{2,0357142857-1,7}{0,179845-(-1,41)}.
Calcule os termos:
x_{2}-x_{1}=0,3357142857,\qquad f(x_{2})-f(x_{1})\approx 0,179845+1,41=1,589845.
Assim
\text{correção}=\frac{0,179845\cdot 0,3357142857}{1,589845}\approx 0,037989.çã
Portanto
x_{3}\approx 2,0357142857-0,037989\approx 1,997725.
Agora f(x_{3}):
f(x_{3})\approx 1,997725^{2}+1,997725-6\approx -0,0113698.
Resumo: x_{3}\approx 1,997725 e f(x_{3})\approx -0,0113698.

Passo 6

Terceira iteração (calcular x_{4}):
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo (valores aproximados):
x_{3}-x_{2}\approx 1,997725-2,0357142857=-0,0379892857,
f(x_{3})-f(x_{2})\approx -0,0113698-0,179845=-0,1912148.
A correção é
\frac{f(x_{3})\cdot(x_{3}-x_{2})}{f(x_{3})-f(x_{2})}\approx \frac{(-0,0113698)\cdot(-0,0379893)}{-0,1912148}\approx -0,002016\ldots
Então
x_{4}\approx 1,997725-(-0,002016)\approx 1,999984\\ (\text{mais precisamente }1,999983984\ldots).
Calcule f(x_{4}) aproximadamente (útil para comparar com a tolerância):
f(x_{4})\approx 1,999983984^{2}+1,999983984-6\approx -8,008\times 10^{-5}.
Verificações do critério:
  • diferença entre últimas duas aproximações: |x_{4}-x_{3}|\approx 0,002259>10^{-4} → ainda não satisfaz o critério |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4};
  • porém |f(x_{4})|\approx 8,008\times 10^{-5}<10^{-4} → se aceitássemos critério em função do resíduo, já teríamos precisão requerida. Mas escolhemos ficar com o critério em x (diferença entre iterações), portanto precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Quarta iteração (calcular x_{5}) para cumprir |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Usando valores aproximados:
x_{4}-x_{3}\approx 0,002259,\qquad f(x_{4})\approx -8,008\times 10^{-5},\qquad f(x_{4})-f(x_{3})\approx -8,008\times 10^{-5}-(-0,0113698)\approx 0,0112897.
A correção é
\frac{f(x_{4})\cdot(x_{4}-x_{3})}{f(x_{4})-f(x_{3})}\approx \frac{-8,008\times 10^{-5}\cdot 0,002259}{0,0112897}\approx -1,602\times 10^{-5}.
Portanto
x_{5}\approx x_{4}-(-1,602\times 10^{-5})\approx 1,999983984+0,00001602\approx 1,999999999.
Agora a diferença entre iterações:
|x_{5}-x_{4}|\approx 1,602\times 10^{-5}<10^{-4},
logo o critério escolhido é satisfeito. Além disso |f(x_{5})| será ainda menor (próximo de zero).

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido: após as iterações o método das secantes aproximou muito bem a raiz verdadeira x=2. Fizemos iterações até que a diferença entre aproximações consecutivas ficasse menor que \;10^{-4}. Dá um alívio ver que, mesmo saindo de 1,5 e 1,7, o método converge rápido para perto de 2. Você consegue aplicar isso na prova: escreva a fórmula da secante, calcule f nos chutes iniciais, faça as substituições e repita até |x_{n+1}-x_{n}|< tolerância.

Resposta

x\approx 1,999999

Exercícios relacionados