Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função que aparece no numerador é
. - A função que aparece no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Primeiro tente a substituição direta para ver se o limite é imediato. Avaliando as funções em
:
então
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (ou usar L’Hôpital). Vou escolher a manipulação algébrica, que é mais simples e usa identidades trigonométricas básicas.
Passo 3
Reescrevo o denominador usando
. Assim
Note que essa transformação é válida em uma vizinhança de
porque
, logo não estamos dividindo por zero perto do ponto de interesse.
Passo 4
Substituo essa escrita do denominador na expressão do limite:
Agora observo que
. Substituindo:
Para
o fator
é diferente de zero, então posso cancelar
do numerador e denominador (essa operação é válida numa vizinhança do ponto, exceto no próprio ponto). Após o cancelamento fica:
Passo 5
Como a função original coincide com
em todo ponto próximo de
(exceto no próprio ponto), o limite é igual ao limite de
quando
. Assim
E como
, obtemos
Passo 6
(verificação rápida por L’Hôpital — opcional) Se preferir confirmar com L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
Aplicando L’Hôpital:
No ponto
isso vale
confirmando o resultado anterior.