\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{1-\tan x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função que aparece no numerador é \sin x - \cos x.
  • A função que aparece no denominador é 1 - \tan x.
  • O ponto de interesse é x \to \dfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Primeiro tente a substituição direta para ver se o limite é imediato. Avaliando as funções em x=\dfrac{\pi}{4}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
então
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad 1-\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-1=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (ou usar L’Hôpital). Vou escolher a manipulação algébrica, que é mais simples e usa identidades trigonométricas básicas.

Passo 3

Reescrevo o denominador usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Assim
1-\tan x = 1 - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x}.
Note que essa transformação é válida em uma vizinhança de x=\dfrac{\pi}{4} porque \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq 0, logo não estamos dividindo por zero perto do ponto de interesse.

Passo 4

Substituo essa escrita do denominador na expressão do limite:
\frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x} = \frac{\sin x - \cos x}{\dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x}} = (\sin x - \cos x)\cdot\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}.
Agora observo que \cos x - \sin x = -(\sin x - \cos x). Substituindo:
(\sin x - \cos x)\cdot\frac{\cos x}{\cos x - \sin x} = (\sin x - \cos x)\cdot\frac{\cos x}{-(\sin x - \cos x)}.
Para x\neq \dfrac{\pi}{4} o fator \sin x - \cos x é diferente de zero, então posso cancelar \sin x - \cos x do numerador e denominador (essa operação é válida numa vizinhança do ponto, exceto no próprio ponto). Após o cancelamento fica:
\frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x} = -\cos x \quad\text{para } x\neq \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Como a função original coincide com -\cos x em todo ponto próximo de \dfrac{\pi}{4} (exceto no próprio ponto), o limite é igual ao limite de -\cos x quando x\to\dfrac{\pi}{4}. Assim
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \big(-\cos x\big) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
E como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

(verificação rápida por L’Hôpital — opcional) Se preferir confirmar com L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
\frac{d}{dx}(\sin x-\cos x)=\cos x+\sin x, \qquad \frac{d}{dx}(1-\tan x)=-\operatorname{sec}^2 x=-\frac{1}{\cos^2 x}.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1-\tan x} =\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+\sin x}{-1/\cos^2 x} =\lim_{x\to\frac{\pi}{4}} -(\cos x+\sin x)\cos^2 x.
No ponto x=\dfrac{\pi}{4} isso vale
-(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2})\cdot\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = -\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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