\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{3}}{2x}.
Informações dadas: a expressão é uma razão de polinômios simples, numerador x^{3} e denominador 2x. A pergunta é: qual é o comportamento (valor ou divergência) dessa expressão quando x\to+\infty?

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar a fração cancelando fatores comuns. Podemos usar a regra de potências
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
para a\neq0. Aplicando aqui, como há um fator x no numerador e no denominador,
\frac{x^{3}}{2x}=\frac{x^{3}}{2\cdot x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{x}=\frac{1}{2}\cdot x^{3-1}=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de \frac{x^{2}}{2} quando x\to+\infty. A função x\mapsto x^{2} para x>0 é crescente e cresce sem limite quando x cresce: isto é,
\lim_{x\to+\infty} x^{2}=+\infty.
Intuitivamente, se você faz x cada vez maior, o quadrado fica muito maior — diverge para o infinito positivo.
Relação com o fator \tfrac{1}{2}: multiplicar por uma constante positiva não impede a divergência para +\infty. Formalmente, dado qualquer M>0, se quisermos garantir \frac{x^{2}}{2}>M basta escolher x>\sqrt{2M}. Assim para todo M existe um X=\sqrt{2M} tal que para x>X temos \frac{x^{2}}{2}>M. Isso mostra que \frac{x^{2}}{2} também tende para +\infty.

Passo 4

Resumo das ideias: simplificamos \frac{x^{3}}{2x} para \frac{x^{2}}{2}; sabemos que x^{2}\to+\infty quando x\to+\infty; multiplicar por \tfrac{1}{2}>0 preserva a divergência para +\infty. Portanto o limite original diverge para +\infty.
Dica rápida para a prova: ao avaliar limites de razões de polinômios para x\to\pm\infty, primeiro cancele fatores comuns ou compare os graus. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite é \pm\infty (o sinal depende de x e dos sinais das potências); aqui o grau do numerador é 3 e do denominador é 1, diferença 2, então diverge como x^{2}.

Resposta

+\infty

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