Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas: a expressão é uma razão de polinômios simples, numerador
e denominador
. A pergunta é: qual é o comportamento (valor ou divergência) dessa expressão quando
?
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar a fração cancelando fatores comuns. Podemos usar a regra de potências
para
. Aplicando aqui, como há um fator
no numerador e no denominador,
Passo 3
Agora analisamos o comportamento de
quando
. A função
para
é crescente e cresce sem limite quando
cresce: isto é,
Intuitivamente, se você faz
cada vez maior, o quadrado fica muito maior — diverge para o infinito positivo.
Relação com o fator : multiplicar por uma constante positiva não impede a divergência para
. Formalmente, dado qualquer
, se quisermos garantir
basta escolher
. Assim para todo
existe um
tal que para
temos
. Isso mostra que
também tende para
.
Relação com o fator
Passo 4
Resumo das ideias: simplificamos
para
; sabemos que
quando
; multiplicar por
preserva a divergência para
. Portanto o limite original diverge para
.
Dica rápida para a prova: ao avaliar limites de razões de polinômios para , primeiro cancele fatores comuns ou compare os graus. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite é
(o sinal depende de
e dos sinais das potências); aqui o grau do numerador é
e do denominador é
, diferença
, então diverge como
.
Dica rápida para a prova: ao avaliar limites de razões de polinômios para