\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{t^{2}}}{t}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{t^{2}}}{t}.
Informações dadas: a expressão envolve \sqrt{t^{2}} e divisão por t; o ponto onde t tende é 0. Note que a expressão não está definida em t=0 porque o denominador seria zero, então devemos analisar o comportamento quando t se aproxima de 0 por valores diferentes de zero.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma propriedade importante da raiz quadrada: para todo número real t\), \[\sqrt{t^{2}} = |t|,
onde |t| é o valor absoluto de t. Explico o valor absoluto: |t| é definido por
|t|= \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Isso significa que \sqrt{t^{2}}\] sempre retorna um número não negativo, igual a \(t quando t é não negativo e igual a -t quando t é negativo.]

Passo 3

Substituindo \sqrt{t^{2}} por |t|, a expressão fica
\frac{\sqrt{t^{2}}}{t}=\frac{|t|}{t},\qquad t\neq 0.
Como o limite em t=0 precisa considerar aproximações pela direita ( t\to 0^+) e pela esquerda ( t\to 0^-), vamos calcular as duas situações separadamente.

Passo 4

Aproximação pela direita: suponha t>0 e t\to 0^+. Nesse caso, |t|=t. Então
\frac{|t|}{t}=\frac{t}{t}=1\quad\text{para } t>0.
Portanto o limite pela direita é
\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{t^{2}}}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{|t|}{t}=1.

Passo 5

Aproximação pela esquerda: suponha t<0 e t\to 0^-. Nesse caso, |t|=-t (porque -t>0). Então
\frac{|t|}{t}=\frac{-t}{t}=-1\quad\text{para } t<0.
Portanto o limite pela esquerda é
\lim_{t\to 0^-}\frac{\sqrt{t^{2}}}{t}=\lim_{t\to 0^-}\frac{|t|}{t}=-1.

Passo 6

Conclusão final: para que o limite \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^{2}}}{t} exista, os limites laterais deveriam ser iguais. Encontramos
\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{t^{2}}}{t}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{t\to 0^-}\frac{\sqrt{t^{2}}}{t}=-1,
que são diferentes. Logo o limite bilateral não existe.

Resposta

Não existe.

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