\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{3}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \lim_{x\to -\infty} x^{3}.
Informações dadas que vamos usar: a função é f(x)=x^{3}, um polinômio de grau 3 (parênteses: grau ímpar) e queremos o comportamento de f(x) quando x tende a -\infty (ou seja, quando x fica cada vez mais negativo).

Passo 2

Entendendo o que significa limite para -\infty.
Dizemos \lim_{x\to -\infty} f(x) = L quando, ao fazer x ficar arbitrariamente negativo (isto é, com módulo muito grande e sinal negativo), os valores de f(x) se aproximam de L. Se os valores de f(x) ficam cada vez mais negativos sem limite, dizemos que o limite é -\infty. Vou usar essa ideia para interpretar o comportamento de x^{3}.

Passo 3

Observação sobre potências e sinal.
Para x<0 (quando x é negativo), o sinal de x^{n} depende da paridade de n:
  • Se n é par, x^{n} é positivo (porque negativo elevado a par dá positivo).
  • Se n é ímpar, x^{n} é negativo (porque negativo elevado a ímpar preserva o sinal negativo).
    Como aqui n=3 é ímpar, para x negativo teremos x^{3} negativo.

Passo 4

Comportamento do módulo (tamanho) de x^{3}.
Quando |x| cresce muito (mesmo se x é negativo), |x^{3}| = |x|^{3} cresce sem limite, porque |x|\mapsto |x|^{3} tende a +\infty quando |x|\to+\infty. Portanto a magnitude de x^{3} fica arbitrariamente grande.

Passo 5

Juntando sinal e magnitude: conclusão intuitiva.
Se x\to -\infty então |x|\to +\infty. Pelo passo anterior |x^{3}| \to +\infty. Pelo passo 3, para x negativo temos x^{3} negativo. Então os valores de x^{3} ficam cada vez mais negativos em magnitude crescente — isto é, tendem a -\infty.

Passo 6

Um método simples e rigoroso via substituição.
Faço a troca x=-t com t\to +\infty quando x\to -\infty. Então
x^{3}=(-t)^{3}=-\,t^{3}.
Como t\to +\infty temos t^{3}\to +\infty, logo -t^{3}\to -\infty. Portanto \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty.

Passo 7

Um argumento usando monotonicidade (mais formal).
A função g(x)=x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}. Dados A\in\mathbb{R} qualquer (por exemplo um número muito negativo), tome x_{0}=\sqrt[3]{A}. Para todo x<x_{0} vale x^{3}<x_{0}^{3}=A. Isso mostra que, para fazer x^{3} menor que qualquer número negativo A, basta escolher x suficientemente negativo. Isso é exatamente a definição de \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty.

Passo 8

Exemplos numéricos para fixar a intuição.
  • Se x=-2 então x^{3}=-8.
  • Se x=-10 então x^{3}=-1000.
  • Se x=-100 então x^{3}=-1\,000\,000.
    Vê como quanto mais negativo x fica, mais negativo (e de maior módulo) fica x^{3}.

Resposta

-\infty

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