Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas que vamos usar: a função é , um polinômio de grau
(parênteses: grau ímpar) e queremos o comportamento de
quando
tende a
(ou seja, quando
fica cada vez mais negativo).
Informações dadas que vamos usar: a função é
Passo 2
Entendendo o que significa limite para
.
Dizemos quando, ao fazer
ficar arbitrariamente negativo (isto é, com módulo muito grande e sinal negativo), os valores de
se aproximam de
. Se os valores de
ficam cada vez mais negativos sem limite, dizemos que o limite é
. Vou usar essa ideia para interpretar o comportamento de
.
Dizemos
Passo 3
Observação sobre potências e sinal.
Para (quando
é negativo), o sinal de
depende da paridade de
:
Para
- Se
é par, é positivo (porque negativo elevado a par dá positivo). - Se
é ímpar, é negativo (porque negativo elevado a ímpar preserva o sinal negativo).
Como aquié ímpar, para negativo teremos negativo.
Passo 4
Comportamento do módulo (tamanho) de
.
Quando cresce muito (mesmo se
é negativo),
cresce sem limite, porque
tende a
quando
. Portanto a magnitude de
fica arbitrariamente grande.
Quando
Passo 5
Juntando sinal e magnitude: conclusão intuitiva.
Se então
. Pelo passo anterior
. Pelo passo 3, para
negativo temos
negativo. Então os valores de
ficam cada vez mais negativos em magnitude crescente — isto é, tendem a
.
Se
Passo 6
Um método simples e rigoroso via substituição.
Faço a troca com
quando
. Então
Faço a troca
Como
temos
, logo
. Portanto
.
Passo 7
Um argumento usando monotonicidade (mais formal).
A função é estritamente crescente em
. Dados
qualquer (por exemplo um número muito negativo), tome
. Para todo
vale
. Isso mostra que, para fazer
menor que qualquer número negativo
, basta escolher
suficientemente negativo. Isso é exatamente a definição de
.
A função
Passo 8
Exemplos numéricos para fixar a intuição.
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Vê como quanto mais negativofica, mais negativo (e de maior módulo) fica .