lim x 0 sen(8 x)sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 sen(8 x)sen(2 x)
Aqui estamos lidando com cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites de funções trigonométricas quando o ângulo se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
sen(8 cdot 0)sen(2 cdot 0) = sen(0)sen(0) = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada 00. Quando isso acontece, precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites desse tipo é usar a propriedade que, quando x se aproxima de 0:
limx to 0 sen(k x)k x = 1
Onde k é uma constante. Vamos usar essa propriedade para reescrever o nosso limite.

Passo 4

Vamos manipular a expressão original para aplicar a propriedade mencionada:
lim x 0 sen(8 x)sen(2 x) = lim x 0 sen(8 x)8 x cdot 8 x2 x cdot 2 xsen(2 x)
Aqui, adicionamos e dividimos por 8x e 2x de forma a separar as partes que se encaixam na propriedade.

Passo 5

Agora, avaliamos cada parte separadamente:
lim x 0 sen(8 x)8 x = 1
8 x2 x = 4
lim x 0 2 xsen(2 x) = 1
Multiplicando tudo:
1 cdot 4 cdot 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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