\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}
Isso envolve limites de funções que tendem a 0/0, então podemos usar o método de l’Hôpital ou a expansão em série de Taylor de \arcsin x em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao fazermos x\to0, temos \arcsin x\to0 e x\to0, logo é 0/0. Podemos então aplicar a regra de l’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}(\arcsin x)}{\frac{d}{dx}(x)}.

Passo 3

Calcular as derivadas:
  • \displaystyle\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.
  • \displaystyle\frac{d}{dx}(x)=1.
    Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x} =\lim_{x\to0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{1} =\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Como \sqrt{1 - x^2}\to\sqrt{1-0}=1 quando x\to0, concluímos que
\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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