\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.
O conteúdo principal aqui é limites de funções e podemos usar a regra de L’Hôpital (já que obtemos uma forma indeterminada 0/0) ou desenvolver \sin x em série de Taylor.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao fazer x\to0, o numerador \sin x\to0 e o denominador x\to0. Portanto temos \tfrac{0}{0} e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x\to0} \frac{\cos x}{1}.

Passo 3

Avaliaremos a última expressão em x=0:
\lim_{x\to0}\cos x = \cos 0 = 1.
Logo pelo método de L’Hôpital o limite é 1.

Passo 4

Como alternativa, usando série de Taylor em torno de 0:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5),
então
\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4),
e ao levar x\to0 obtemos novamente 1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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