Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que você me passou:
Aqui estamos lidando com limites de funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de $ x $ por 2 e verificar se conseguimos simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 2 $ na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
No denominador:
Ao substituir, tanto o numerador quanto o denominador dão 0, formando uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos simplificar a fração para conseguir resolver o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Fatorando o numerador $ 2x^{2} - 5x + 2 $:
Procuramos dois números que multiplicados dão $ 2 \times 2 = 4 $ e que somados dão -5. Esses números são -4 e -1.
Então:
Fatorando o denominador $ 5x^{2} - 7x - 6 $:
Procuramos dois números que multiplicados dão $ 5 \times (-6) = -30 $ e que somados dão -7. Esses números são -10 e +3.
Então:
Passo 4
Agora que fatoramos, nossa expressão fica:
Perceba que o termo $ (x - 2) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir $ x = 2 $ sem problemas:
Resposta
O limite é
.