lim x 0 e^x-e^-x-2 xx^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar o conteúdo de limites e séries de Taylor para resolver isso. Precisamos entender como as funções exponenciais se comportam perto de 0 para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de expandir funções em potências de e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots , o que facilita o cálculo de limites. Para as funções e^-x = 1 - x + x^22 - x^36 + x^424 - dots e , as expansões são:

Passo 3

Agora, vamos calcular e^x - e^-x = (1 + x + x^22 + x^36 + dots) - (1 - x + x^22 - x^36 + dots) :
e^x - e^-x = 2x + 2x^36 + dots = 2x + x^33 + dots
Simplificando, temos:

Passo 4

Subtraindo e^x - e^-x - 2x = x^33 + dots dessa expressão:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original:
e^x - e^-x - 2xx^3 = x^33 + dotsx^3 = 13 + dots
Quando se aproxima de 0, os termos de ordem superior (os pontos) desaparecem.

Resposta

O limite é .

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