Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no tópico de limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e derivadas, especialmente a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 0/0.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, quando
se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, que é onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos:
Então:
Desde que as derivadas existam próximas a
. Vamos aplicar isso ao nosso limite.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Derivando termo a termo:
Denominador:
Derivando:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Vamos simplificar essa expressão antes de calcular o limite.
Passo 6
Substituindo
na nova expressão para verificar se ainda estamos em uma forma indeterminada:
Numerador:
Denominador:
Então, agora temos:
Resposta
O limite é igual a 1.