lim x 0 ln (1+x^2)-ln (1+x)x^2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 ln (1+x^2)-ln (1+x)x^2-x
Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no tópico de limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e derivadas, especialmente a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos ln(1 + 0^2) - ln(1 + 0) = ln(1) - ln(1) = 0 - 0 = 0 diretamente na expressão:
Numerador:
0^2 - 0 = 0
Denominador:
Então, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , que é onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Desde que as derivadas existam próximas a . Vamos aplicar isso ao nosso limite.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador: f'(x) = 2x1 + x^2 - 11 + x
Derivando termo a termo:
g'(x) = 2x - 1
Denominador:
Derivando:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
lim x 0 2x1 + x^2 - 11 + x2x - 1
Vamos simplificar essa expressão antes de calcular o limite.

Passo 6

Substituindo 2 cdot 01 + 0^2 - 11 + 0 = 0 - 1 = -1 na nova expressão para verificar se ainda estamos em uma forma indeterminada:
Numerador:
2 cdot 0 - 1 = -1
Denominador:
-1-1 = 1
Então, agora temos:

Resposta

O limite é igual a 1.

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