lim x 0 ln (cos (x))+x^2 / 2x^4

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites e séries de Taylor, que são ferramentas do cálculo para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar expandir as funções e em séries de Taylor até a quarta ordem de .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cos(x) = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6) em uma série de Taylor em torno de :

Passo 3

Agora, vamos calcular ln(cos(x)) = ln(1 - x^22 + x^424) . Usando a expansão anterior:
ln(1 + y) approx y - y^22 + O(y^3)
Para pequenas variações de , podemos usar a série de Taylor para , onde :

Passo 4

Substituindo ln(cos(x)) approx -x^22 + x^424 - 12(-x^22)^2 na expressão:
ln(cos(x)) approx -x^22 + x^424 - x^48
Simplificando o termo quadrado:
ln(cos(x)) approx -x^22 - x^412
Combinando os termos de :

Passo 5

Agora, somamos ln(cos(x)) + x^22 approx -x^412 à expressão de :

Passo 6

Substituindo de volta no limite original:
limx 0 ln (cos (x)) + x^22x^4 = limx 0 -x^412x^4 = -112

Resposta

O limite é .

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