Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conceitos de limites e séries de Taylor, que são ferramentas do cálculo para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar expandir as funções
e
em séries de Taylor até a quarta ordem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
em uma série de Taylor em torno de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usando a expansão anterior:
Para pequenas variações de
, podemos usar a série de Taylor para
, onde
:
Passo 4
Substituindo
na expressão:
Simplificando o termo quadrado:
Combinando os termos de
:
Passo 5
Agora, somamos
à expressão de
:
Passo 6
Substituindo de volta no limite original:
Resposta
O limite é
.