Resolva o PVI:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-N

Passo 1

A questão pede para a gente resolver o PVI (problema de valor inicial) dado por
y' - yt+1 = 2t+2, t>-1, y(1)=5-N
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante usando a condição inicial.

Passo 2

Identificamos a EDO na forma padrão y' + P(t)y = Q(t). Aqui
P(t) = -1t+1, Q(t)=2t+2
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(-integral1t+1dtr)=expl(-ln|t+1|r)=(t+1)^-1

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t) temos
(t+1)^-1y' - (t+1)^-2y = (2t+2)(t+1)^-1
O lado esquerdo é a derivada de ymu(t), ou seja
ddtl(yt+1r) = 2t+2t+1 = 2
Integrando ambos os lados em relação a t:
yt+1 = 2t + C,
onde C é constante de integração. Assim a solução geral é
y(t) = (2t+C)(t+1) = 2t^2 + 2t + Ct + C

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=5-N. Substituindo t=1:
y(1)=2cdot1^2 + 2cdot1 + Ccdot1 + C = 2 + 2 + C + C = 4 + 2C
Igualando a 5-N:
4 + 2C = 5 - N Rightarrow 2C = 1 - N Rightarrow C = 1 - N2
Portanto, a solução que satisfaz o PVI é

Passo 5

final_answer

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