\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{y^{4}+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
Dados relevantes: a função no numerador é x^{3}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) e no denominador é y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr). O ponto de interesse é (x,y)=(0,0). O objetivo é determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro reescrevo a expressão de uma forma que destaque a diferença em relação a 1. Faço a subtração e somo \sin(x^{2}+y^{2}) em ambos os lados:
\frac{x^{3}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} = 1 + \frac{x^{3}-y^{4}}{\,y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,}.
Portanto basta mostrar que a fração
\frac{x^{3}-y^{4}}{\,y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,}
tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Vou trabalhar com valores absolutos para controlar a magnitude dessa fração. Tenho
\left|\frac{x^{3}-y^{4}}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\right| \le \frac{|x|^{3}+|y|^{4}}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
Para estimar isso é conveniente introduzir r definido por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que representa a distância de (x,y) até (0,0). Observação útil: para todo (x,y) vale |x|\le r e |y|\le r.

Passo 4

Preciso de um limite inferior para o denominador y^{4}+\sin(x^{2}+y^{2}). Note que x^{2}+y^{2}=r^{2}\ge0. Para pontos suficientemente próximos de (0,0) temos 0\le r^{2}\le 1 (posso escolher a vizinhança de raio 1, por exemplo). Para 0\le u\le 1 vale a desigualdade de Taylor truncada
\sin u = u - \frac{u^{3}}{6} + \dots \ge u - \frac{u^{3}}{6} \ge u - \frac{u}{6} = \frac{5}{6}u \ge \frac{1}{2}u,
onde usei u^{3}\le u quando 0\le u\le 1. Aplicando isso com u=r^{2} obtemos, para r suficientemente pequeno,
\sin\bigl(r^{2}\bigr)=\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) \ge \frac{1}{2}r^{2}.
Como y^{4}\ge 0, então para r pequeno
y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) \ge \sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) \ge \frac{1}{2}r^{2}.

Passo 5

Agora retorno à estimativa da fração usando a desigualdade do passo 3 e os limites sobre x,y em termos de r:
|x|^{3}+|y|^{4} \le r^{3}+r^{4}.
Com o limite inferior do denominador do passo 4 segue, para r pequeno,
\left|\frac{x^{3}-y^{4}}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\right| \le \frac{r^{3}+r^{4}}{\frac{1}{2}r^{2}} = 2\bigl(r + r^{2}\bigr).

Passo 6

Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a expressão 2(r+r^{2}) tende a 0. Pelo encurralamento (teorema do sanduíche) ou pela desigualdade direta temos então
\frac{x^{3}-y^{4}}{y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} \longrightarrow 0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Voltando à reescrita do passo 2, isso implica que a razão original tende a 1.

Resposta

1

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