Dados relevantes: a função no numerador é x^{3}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) e no denominador é y^{4}+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr). O ponto de interesse é (x,y)=(0,0). O objetivo é determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro reescrevo a expressão de uma forma que destaque a diferença em relação a 1. Faço a subtração e somo \sin(x^{2}+y^{2}) em ambos os lados:
Para estimar isso é conveniente introduzir r definido por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que representa a distância de (x,y) até (0,0). Observação útil: para todo (x,y) vale |x|\le r e |y|\le r.
Passo 4
Preciso de um limite inferior para o denominador y^{4}+\sin(x^{2}+y^{2}). Note que x^{2}+y^{2}=r^{2}\ge0. Para pontos suficientemente próximos de (0,0) temos 0\le r^{2}\le 1 (posso escolher a vizinhança de raio 1, por exemplo). Para 0\le u\le 1 vale a desigualdade de Taylor truncada
\sin u = u - \frac{u^{3}}{6} + \dots \ge u - \frac{u^{3}}{6} \ge u - \frac{u}{6} = \frac{5}{6}u \ge \frac{1}{2}u,
onde usei u^{3}\le u quando 0\le u\le 1. Aplicando isso com u=r^{2} obtemos, para r suficientemente pequeno,
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a expressão 2(r+r^{2}) tende a 0. Pelo encurralamento (teorema do sanduíche) ou pela desigualdade direta temos então