Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
O que o problema pede: calcular
, isto é, os parciais
e
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
-
. - Foi dado
. Ou seja, - A função externa é
. - Foi dado
. - A função interna
está dada por . (Vou usar essa fórmula para calcular , e .)
Passo 2
Calcular
a partir da fórmula de
. Usando a informação da fórmula
(peguei esse dado do enunciado),
Portanto o ponto onde vamos avaliar
é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Para distinguir melhor e obter fórmulas, escrevemos
. Usando isso:
- Derivada parcial de
em relação a (tratando como constante): Aqui significa a taxa de variação de quando muda e fica fixo; é simplesmente a potência. - Derivada parcial de
em relação a (tratando como constante): Aqui é a taxa de variação de quando muda e fica fixo.
Agora avaliamos em
.
- Primeiro,
. - Então
(Usei e .) - E
Passo 4
Calcular
e
a partir de
. Diferenciando:
- Para
: - Para
: aplicar regra da cadeia em :
Agora avaliamos em
(peguei a fórmula de
do enunciado):
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para
. Para composição
temos as fórmulas
Essas expressões vêm da regra da cadeia: a variação de
em
vem da variação de
em
vezes a variação de
em
, mais a variação de
em
vezes a variação de
em
.
Agora avaliamos tudo no ponto
. Substituímos os valores que já calculamos:
-
. -
. -
. -
.
Logo a primeira equação fica
Isolando
:
portanto
Passo 6
Agora usamos a equação para
. Substituindo os valores:
-
. -
.
A equação é
Observe que
. Portanto
Isolando
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Juntando os resultados obtidos:
Isso nos dá o vetor gradiente pedido.