Use regra da cadeia para calcular \nabla u(1,1)
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y))
\nabla g(1,1)=\left(\ln (2), \frac{-\ln (2)}{2}\right)
f(u, v)=u^{v}
u(1,1)=4
v(1,1)=\frac{x^{2}}{3-y}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \nabla u(1,1), isto é, os parciais \displaystyle u_x(1,1) e \displaystyle u_y(1,1).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
  • Foi dado \nabla g(1,1)=\left(\ln(2),\,\frac{-\ln(2)}{2}\right). Ou seja, g_x(1,1)=\ln(2),\qquad g_y(1,1)=-\frac{\ln(2)}{2}.
  • A função externa é f(u,v)=u^{v}.
  • Foi dado u(1,1)=4.
  • A função interna v está dada por v(x,y)=\dfrac{x^{2}}{3-y}. (Vou usar essa fórmula para calcular v(1,1), v_x(1,1) e v_y(1,1).)

Passo 2

Calcular v(1,1) a partir da fórmula de v. Usando a informação da fórmula v(x,y)=\dfrac{x^{2}}{3-y} (peguei esse dado do enunciado),
v(1,1)=\frac{1^{2}}{3-1}=\frac{1}{2}.
Portanto o ponto onde vamos avaliar f é (u,v)=(4,\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=u^{v}. Para distinguir melhor e obter fórmulas, escrevemos u^{v}=e^{v\ln u}. Usando isso:
  • Derivada parcial de f em relação a u (tratando v como constante): f_u(u,v)=\frac{\partial}{\partial u} e^{v\ln u}=e^{v\ln u}\cdot \frac{\partial}{\partial u}(v\ln u)=u^{v}\cdot \frac{v}{u}=v\,u^{v-1}.Aqui f_u significa a taxa de variação de f quando u muda e v fica fixo; v é simplesmente a potência.
  • Derivada parcial de f em relação a v (tratando u como constante): f_v(u,v)=\frac{\partial}{\partial v} e^{v\ln u}=e^{v\ln u}\cdot \ln u = u^{v}\ln u.Aqui f_v é a taxa de variação de f quando v muda e u fica fixo.
Agora avaliamos em (u,v)=(4,\tfrac{1}{2}).
  • Primeiro, u^{v}=4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • Então f_u(4,\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 4^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}\cdot 4^{-1/2}=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.(Usei v=1/2 e u^{v-1}=4^{-1/2}=1/2.)
  • E f_v(4,\tfrac{1}{2})=4^{1/2}\ln 4 = 2\ln 4 = 2\cdot 2\ln 2 = 4\ln 2.

Passo 4

Calcular v_x e v_y a partir de v(x,y)=\dfrac{x^{2}}{3-y}. Diferenciando:
  • Para v_x: v_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{3-y}\right)=\frac{2x}{3-y}.
  • Para v_y: aplicar regra da cadeia em (3-y)^{-1}: v_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}}{3-y}\right)=x^{2}\cdot \frac{d}{dy}\bigl((3-y)^{-1}\bigr)=x^{2}\cdot (3-y)^{-2}.
Agora avaliamos em (x,y)=(1,1) (peguei a fórmula de v do enunciado):
v_x(1,1)=\frac{2\cdot 1}{3-1}= \frac{2}{2}=1, \qquad v_y(1,1)=\frac{1^{2}}{(3-1)^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para \nabla g. Para composição g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) temos as fórmulas
g_x = f_u\,u_x + f_v\,v_x, \qquad g_y = f_u\,u_y + f_v\,v_y.
Essas expressões vêm da regra da cadeia: a variação de g em x vem da variação de f em u vezes a variação de u em x, mais a variação de f em v vezes a variação de v em x.
Agora avaliamos tudo no ponto (x,y)=(1,1). Substituímos os valores que já calculamos:
  • g_x(1,1)=\ln(2).
  • f_u(4,\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{4}.
  • f_v(4,\tfrac{1}{2})=4\ln 2.
  • v_x(1,1)=1.
    Logo a primeira equação fica
\ln(2)=\tfrac{1}{4}\,u_x(1,1) + (4\ln 2)\cdot 1.
Isolando u_x(1,1):
\tfrac{1}{4}\,u_x(1,1)=\ln(2)-4\ln(2) = -3\ln(2),
portanto
u_x(1,1) = -12\ln(2).

Passo 6

Agora usamos a equação para g_y. Substituindo os valores:
  • g_y(1,1)=-\dfrac{\ln(2)}{2}.
  • v_y(1,1)=\dfrac{1}{4}.
    A equação é
-\frac{\ln(2)}{2} = \tfrac{1}{4}\,u_y(1,1) + (4\ln 2)\cdot \tfrac{1}{4}.
Observe que (4\ln 2)\cdot \tfrac{1}{4}=\ln 2. Portanto
-\frac{\ln(2)}{2} = \tfrac{1}{4}\,u_y(1,1) + \ln(2).
Isolando \tfrac{1}{4}u_y(1,1):
\tfrac{1}{4}\,u_y(1,1) = -\frac{\ln(2)}{2} - \ln(2) = -\frac{3}{2}\ln(2).
Multiplicando por 4:
u_y(1,1) = -6\ln(2).

Passo 7

Juntando os resultados obtidos:
u_x(1,1) = -12\ln(2),\qquad u_y(1,1) = -6\ln(2).
Isso nos dá o vetor gradiente pedido.

Resposta

\nabla u(1,1)=\bigl(-12\ln(2),\,-6\ln(2)\bigr)

Exercícios relacionados