Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas:
e o ponto de aproximação é
.
O enunciado só pede o valor do limite quando tende a
.
O enunciado só pede o valor do limite quando
Passo 2
Vamos entender quais termos dominam quando
. Compare os “graus” dos monômios:
Perceba que, em geral, o termo dominante do numerador perto da origem é
(grau
), e o termo dominante do denominador é
(grau
), salvo situações particulares em que
é muito pequeno em relação a
. Quando os graus dos termos dominantes são diferentes, é comum que o limite dependa do caminho; por isso vamos testar caminhos específicos que equilibrem as ordens dos termos.
Passo 3
Escolhemos um caminho que torne o termo
do mesmo grau que
. Se colocarmos
com
fixo, então
ou seja,
passa a ser da mesma ordem que
. Esse é um bom teste porque se o limite existir ele deve ser o mesmo em todos os caminhos; se variar com
, o limite não existe.
Passo 4
Substituímos
na função e simplificamos passo a passo.
Numerador:
Denominador:
Agora a razão:
Ao fazermos
(e, por consequência,
), os termos com potências de
vão a
. Portanto o limite ao longo desse caminho é
Passo 5
Vimos que, ao escolher o caminho
, o limite da função é
. Como
é um parâmetro qualquer em
, o valor do limite varia com o caminho. Por exemplo:
Dois caminhos deram limites diferentes (
e
), portanto o limite não pode existir.
Passo 6
Conclusão lógica: como o valor da expressão quando
depende do caminho (ou seja, do parâmetro
), não existe um único valor limite.
Resposta
O limite não existe.