\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{5}+11 x y-y^{6}}{x^{4}+17 x^{3} y^{2}+6 y^{7}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{5}+11 x y-y^{6}}{x^{4}+17 x^{3}y^{2}+6y^{7}}.
Informações dadas:
\text{numerador }=x^{5}+11xy-y^{6},
\text{denominador }=x^{4}+17x^{3}y^{2}+6y^{7},
e o ponto de aproximação é (x,y)\to(0,0).
O enunciado só pede o valor do limite quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Vamos entender quais termos dominam quando (x,y)\to(0,0). Compare os “graus” dos monômios:
\deg(x^{5})=5,\quad \deg(11xy)=1+1=2,\quad \deg(y^{6})=6,
\deg(x^{4})=4,\quad \deg(17x^{3}y^{2})=3+2=5,\quad \deg(6y^{7})=7.
Perceba que, em geral, o termo dominante do numerador perto da origem é 11xy (grau 2), e o termo dominante do denominador é x^{4} (grau 4), salvo situações particulares em que x é muito pequeno em relação a y. Quando os graus dos termos dominantes são diferentes, é comum que o limite dependa do caminho; por isso vamos testar caminhos específicos que equilibrem as ordens dos termos.

Passo 3

Escolhemos um caminho que torne o termo 11xy do mesmo grau que x^{4}. Se colocarmos
y=kx^{3},
com k\in\mathbb{R} fixo, então
xy=x\cdot(kx^{3})=k x^{4},
ou seja, xy passa a ser da mesma ordem que x^{4}. Esse é um bom teste porque se o limite existir ele deve ser o mesmo em todos os caminhos; se variar com k, o limite não existe.

Passo 4

Substituímos y=kx^{3} na função e simplificamos passo a passo.
Numerador:
x^{5}+11x y-y^{6}=x^{5}+11x(kx^{3})-(kx^{3})^{6}
= x^{5}+11k x^{4}-k^{6}x^{18}
= x^{4}\bigl(x+11k-k^{6}x^{14}\bigr).
Denominador:
x^{4}+17x^{3}y^{2}+6y^{7}=x^{4}+17x^{3}(k^{2}x^{6})+6(k^{7}x^{21})
= x^{4}+17k^{2}x^{9}+6k^{7}x^{21}
= x^{4}\bigl(1+17k^{2}x^{5}+6k^{7}x^{17}\bigr).
Agora a razão:
\frac{x^{5}+11x y-y^{6}}{x^{4}+17x^{3}y^{2}+6y^{7}} = \frac{x^{4}\bigl(x+11k-k^{6}x^{14}\bigr)}{x^{4}\bigl(1+17k^{2}x^{5}+6k^{7}x^{17}\bigr)}
= \frac{x+11k-k^{6}x^{14}}{1+17k^{2}x^{5}+6k^{7}x^{17}}.
Ao fazermos x\to 0 (e, por consequência, y=kx^{3}\to 0), os termos com potências de x vão a 0. Portanto o limite ao longo desse caminho é
\lim_{x\to 0}\frac{x+11k-k^{6}x^{14}}{1+17k^{2}x^{5}+6k^{7}x^{17}}=11k.

Passo 5

Vimos que, ao escolher o caminho y=kx^{3}, o limite da função é 11k. Como k é um parâmetro qualquer em \mathbb{R}, o valor do limite varia com o caminho. Por exemplo:
\text{para }k=0\text{ (ou seja }y=0\text{) o limite é }11\cdot 0=0,é
\text{para }k=1\text{ (ou seja }y=x^{3}\text{) o limite é }11\cdot 1=11.é
Dois caminhos deram limites diferentes ( 0 e 11), portanto o limite não pode existir.

Passo 6

Conclusão lógica: como o valor da expressão quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho (ou seja, do parâmetro k), não existe um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados