Sabendo que o plano tangente à superfície
:
, existe no ponto
, determine a equação deste plano tangente.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida implicitamente pela equação
e informa o ponto
que pertence a
. A pergunta é: determinar a equação do plano tangente a
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é dada por uma equação implícita
. - O ponto onde se quer o plano tangente é
. - O enunciado afirma que o plano tangente existe nesse ponto.
Passo 2
Estratégia (explicação didática, sem pular passos): para uma superfície dada por uma função implícita
, uma forma padrão de obter o plano tangente no ponto
é usar o vetor gradiente
como vetor normal ao plano. A equação do plano tangente fica então
Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): o gradiente
aponta na direção de maior variação de
e é perpendicular às superfícies de nível
constante; logo no ponto pedido o gradiente é normal à superfície, e o plano tangente é o conjunto de pontos cujo deslocamento em relação ao ponto tem produto escalar zero com esse normal.
Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Defino a função
Agora calculo as derivadas parciais de primeira ordem (a regra: tratar as outras variáveis como constantes; para
a derivada em
é
; para um produto chamar atenção ao fato de que
quando derivado em
dá
, em
dá
, e em
dá
).
As derivadas parciais são:
Passo 4
Avalio as derivadas parciais no ponto dado
.
Calculemos uma a uma:
Calculemos uma a uma:
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto o gradiente no ponto é
.
Passo 5
Verificação da existência do plano tangente: o plano tangente existe se o vetor normal
for não-nulo. Aqui
, logo o plano tangente existe (conferindo o que o enunciado disse).
Passo 6
Agora escrevo a equação geral do plano tangente usando a fórmula com o gradiente:
Substituindo os valores das derivadas parciais encontrados:
Passo 7
Simplifico a equação:
Essa é a forma mais simples da equação do plano tangente.