Sabendo que o plano tangente à superfície S : e^{x}-x y z-y=0, existe no ponto (0,1,0), determine a equação deste plano tangente.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida implicitamente pela equação
e^{x}-x y z - y = 0
e informa o ponto (0,1,0) que pertence a S. A pergunta é: determinar a equação do plano tangente a S no ponto (0,1,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é dada por uma equação implícita e^{x}-x y z - y = 0.
  • O ponto onde se quer o plano tangente é (0,1,0).
  • O enunciado afirma que o plano tangente existe nesse ponto.

Passo 2

Estratégia (explicação didática, sem pular passos): para uma superfície dada por uma função implícita F(x,y,z)=0, uma forma padrão de obter o plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) é usar o vetor gradiente \nabla F(x_0,y_0,z_0) como vetor normal ao plano. A equação do plano tangente fica então
\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0) +\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0) +\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): o gradiente \nabla F aponta na direção de maior variação de F e é perpendicular às superfícies de nível F= constante; logo no ponto pedido o gradiente é normal à superfície, e o plano tangente é o conjunto de pontos cujo deslocamento em relação ao ponto tem produto escalar zero com esse normal.
Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Defino a função
F(x,y,z)=e^{x}-x y z - y.
Agora calculo as derivadas parciais de primeira ordem (a regra: tratar as outras variáveis como constantes; para e^{x} a derivada em x é e^{x}; para um produto chamar atenção ao fato de que -x y z quando derivado em x -y z, em y -x z, e em z -x y).
As derivadas parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z) = e^{x} - y z,
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) = -x z - 1,
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) = -x y.

Passo 4

Avalio as derivadas parciais no ponto dado (x_0,y_0,z_0)=(0,1,0).
Calculemos uma a uma:
Para \frac{\partial F}{\partial x}:
\frac{\partial F}{\partial x}(0,1,0)=e^{0} - (1)(0)=1-0=1.
Para \frac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}(0,1,0) = -0\cdot 0 - 1 = -1.
Para \frac{\partial F}{\partial z}:
\frac{\partial F}{\partial z}(0,1,0) = -0\cdot 1 = 0.
Portanto o gradiente no ponto é \nabla F(0,1,0) = (1,\,-1,\,0).

Passo 5

Verificação da existência do plano tangente: o plano tangente existe se o vetor normal \nabla F(0,1,0) for não-nulo. Aqui \nabla F(0,1,0)=(1,-1,0)\neq(0,0,0), logo o plano tangente existe (conferindo o que o enunciado disse).

Passo 6

Agora escrevo a equação geral do plano tangente usando a fórmula com o gradiente:
\frac{\partial F}{\partial x}(0,1,0)\,(x-0) +\frac{\partial F}{\partial y}(0,1,0)\,(y-1) +\frac{\partial F}{\partial z}(0,1,0)\,(z-0)=0.
Substituindo os valores das derivadas parciais encontrados:
1\cdot(x-0)+(-1)\cdot(y-1)+0\cdot(z-0)=0.

Passo 7

Simplifico a equação:
x - (y-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + 1 = 0.
Essa é a forma mais simples da equação do plano tangente.

Resposta

x - y + 1 = 0

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