1. \lim _{(x, y) \rightarrow(\infty, \infty)} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando as duas coordenadas vão para infinito:
\lim_{(x,y)\to(\infty,\infty)} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}.
  • A aproximação pedida é no sentido em que x\to\infty e y\to\infty simultaneamente (ou seja, para pontos (x,y) com coordenadas arbitrariamente grandes e positivas).

Passo 2

Entendendo o que significa o limite \lim_{(x,y)\to(\infty,\infty)} f(x,y)=L.
Explicação didática: dizer que
\lim_{(x,y)\to(\infty,\infty)} f(x,y)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe R>0 tal que, sempre que x>R e y>R, tem-se |f(x,y)-L|<\varepsilon. É a versão multivariada da definição de limite quando as duas coordenadas crescem sem limite. Aqui queremos mostrar que o valor L é algum número (provavelmente 0 ou outro) e provar que f(x,y) fica arbitrariamente perto desse L quando x,y são suficientemente grandes.

Passo 3

Escolha do método: comparação (inequação) e aplicação da definição \varepsilon- R.
Raciocínio informal primeiro: para x,y grandes, x^{2}+y^{2} é grande e positivo, então -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) é um número grande negativo, e e^{\text{(grande negativo)}} costuma ser muito próximo de zero. Vamos tornar isso rigoroso usando uma desigualdade simples que permite usar o Teorema do Aperto (squeeze theorem) ou diretamente a definição \varepsilon- R.

Passo 4

Construindo a desigualdade útil.
Observação elementar: para quaisquer x,y reais vale
x^{2}+y^{2}\ge x^{2}.
Aplicando a função exponencial decrescente em termos do argumento negativo, obtemos (para x,y quaisquer)
0<e^{-(x^{2}+y^{2})}\le e^{-x^{2}}.
Aqui usei que e^{t} é estritamente positiva para todo t e que se a\ge b então e^{-a}\le e^{-b} (porque t\mapsto e^{t} é crescente, logo a\ge b\Rightarrow -a\le -b\Rightarrow e^{-a}\le e^{-b}).

Passo 5

Usando a desigualdade para concluir o limite (argumento via limite de uma variável).
Sabendo que \lim_{x\to\infty} e^{-x^{2}}=0 (isto é clássico: x^{2}\to\infty implica -x^{2}\to-\infty e e^{-\infty}=0), e tendo
0<e^{-(x^{2}+y^{2})}\le e^{-x^{2}},
podemos aplicar o Teorema do Aperto: como a função fica entre 0 e um termo que tende a 0 quando x\to\infty, então o termo no meio também tende a 0 quando x\to\infty (aqui lembrando que no enunciado x\to\infty e y\to\infty; em particular x\to\infty é verdadeiro). Portanto
\lim_{(x,y)\to(\infty,\infty)} e^{-(x^{2}+y^{2})}=0.

Passo 6

Prova \varepsilon- R direta (mais rigorosa) — para fixar bem o método que podes usar na prova.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Queremos um R>0 tal que, se x>R e y>R, então |e^{-(x^{2}+y^{2})}-0|=e^{-(x^{2}+y^{2})}<\varepsilon.
Pelo que já vimos, para x>R vale
e^{-(x^{2}+y^{2})}\le e^{-x^{2}}\le e^{-R^{2}}.
Basta escolher R tal que e^{-R^{2}}\le\varepsilon. Tomando logaritmo (lembrando que \varepsilon pode ser assumido em (0,1) caso contrário a condição já estaria satisfeita), obtemos a escolha
R=\sqrt{-\ln(\varepsilon)}.
Com essa escolha, para todo x>R e y>R temos e^{-(x^{2}+y^{2})}\le e^{-R^{2}}=\varepsilon. Isso satisfaz a definição de limite, portanto o limite é 0.

Passo 7

Exemplo concreto para intuição rápida (não essencial, só para fixar).
Se tomarmos a diagonal x=y=t e fazermos t\to\infty, a expressão vira
e^{-(t^{2}+t^{2})}=e^{-2t^{2}},
e \lim_{t\to\infty} e^{-2t^{2}}=0. Isso ilustra que mesmo ao crescer em várias direções a função vai para zero, e a desigualdade que usamos dá a forma geral da prova.

Resposta

0

Exercícios relacionados