Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando as duas coordenadas vão para infinito:
Informações dadas:
- A função é
. - A aproximação pedida é no sentido em que
e simultaneamente (ou seja, para pontos com coordenadas arbitrariamente grandes e positivas).
Passo 2
Entendendo o que significa o limite
.
Explicação didática: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
e
, tem-se
. É a versão multivariada da definição de limite quando as duas coordenadas crescem sem limite. Aqui queremos mostrar que o valor
é algum número (provavelmente
ou outro) e provar que
fica arbitrariamente perto desse
quando
são suficientemente grandes.
Passo 3
Escolha do método: comparação (inequação) e aplicação da definição
-
.
Raciocínio informal primeiro: para
grandes,
é grande e positivo, então
é um número grande negativo, e
costuma ser muito próximo de zero. Vamos tornar isso rigoroso usando uma desigualdade simples que permite usar o Teorema do Aperto (squeeze theorem) ou diretamente a definição
-
.
Passo 4
Construindo a desigualdade útil.
Observação elementar: para quaisquer
reais vale
Aplicando a função exponencial decrescente em termos do argumento negativo, obtemos (para
quaisquer)
Aqui usei que
é estritamente positiva para todo
e que se
então
(porque
é crescente, logo
).
Passo 5
Usando a desigualdade para concluir o limite (argumento via limite de uma variável).
Sabendo que
(isto é clássico:
implica
e
), e tendo
podemos aplicar o Teorema do Aperto: como a função fica entre
e um termo que tende a
quando
, então o termo no meio também tende a
quando
(aqui lembrando que no enunciado
e
; em particular
é verdadeiro). Portanto
Passo 6
Prova
-
direta (mais rigorosa) — para fixar bem o método que podes usar na prova.
Seja
arbitrário. Queremos um
tal que, se
e
, então
.
Pelo que já vimos, para
vale
Basta escolher
tal que
. Tomando logaritmo (lembrando que
pode ser assumido em
caso contrário a condição já estaria satisfeita), obtemos a escolha
Com essa escolha, para todo
e
temos
. Isso satisfaz a definição de limite, portanto o limite é
.
Passo 7
Exemplo concreto para intuição rápida (não essencial, só para fixar).
Se tomarmos a diagonal
e fazermos
, a expressão vira
e
. Isso ilustra que mesmo ao crescer em várias direções a função vai para zero, e a desigualdade que usamos dá a forma geral da prova.