1. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}-y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando (x,y)\to(0,0) da função
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}-y^{4}}.
Pergunta clara: existe um número real L tal que, para qualquer modo de aproximar (x,y) a (0,0) (exceto pontos onde a função não esteja definida), o valor da expressão tende a L? Ou seja, qual é
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}-y^{4}}\,?
Informações dadas: a fórmula da função (já escrita acima). Não há imagens nem outros dados numéricos.

Passo 2

Breve explicação da ideia que vou usar (sem pressupor que já sabe): para limites em duas variáveis, a maneira mais prática para verificar existência é testar aproximações por diferentes caminhos. Se escolher dois caminhos que chegam a (0,0) e os limites ao longo desses caminhos forem diferentes (incluindo sinais diferentes ou um sendo infinito e outro finito), então o limite geral NÃO existe.
Justificando por que isso vale: se o limite existisse e fosse um número L, então ao aproximar por qualquer sequência de pontos (x_n,y_n)\to(0,0) o valor da função teria que tender a L. Portanto, encontrar duas sequências (ou caminhos) que dão limites diferentes prova que o limite não existe.
Vou aplicar isso testando caminhos simples: os eixos e depois a reta y=mx para ver o comportamento geral.

Passo 3

Aproximação pelo eixo y=0. Substituo y=0 na expressão:
\frac{x^{2}+0^{2}}{x^{4}-0^{4}}=\frac{x^{2}}{x^{4}}=\frac{1}{x^{2}}.
Ao fazer x\to0 (com x\neq0), temos
\frac{1}{x^{2}}\to +\infty.
Interpretação: aproximando (x,y) por pontos (x,0) no eixo x (com x\to0), a função cresce sem limite positivo — tende para +\infty.

Passo 4

Aproximação pelo eixo x=0. Substituo x=0:
\frac{0^{2}+y^{2}}{0^{4}-y^{4}}=\frac{y^{2}}{-y^{4}}=-\frac{1}{y^{2}}.
Ao fazer y\to0 (com y\neq0), tem-se
-\frac{1}{y^{2}}\to -\infty.
Interpretação: aproximando (x,y) por pontos (0,y) no eixo y, a função diverge para -\infty.

Passo 5

Conclusão imediata a partir dos passos anteriores: ao aproximar pela reta y=0 o valor tende a +\infty, enquanto que ao aproximar pela reta x=0 tende a -\infty. Esses dois “limites” não coincidem (nem mesmo em sinal), portanto não existe um único número real L tal que a função tenda a L ao aproximar (x,y)\to(0,0). Logo o limite não existe.

Passo 6

Complemento didático (mostra que o comportamento depende do caminho): considere a reta y=mx com m fixo. Substituindo y=mx obtemos
\frac{x^{2}+m^{2}x^{2}}{x^{4}-m^{4}x^{4}} =\frac{x^{2}(1+m^{2})}{x^{4}(1-m^{4})} =\frac{1+m^{2}}{x^{2}(1-m^{4})}.
Para m tal que 1-m^{4}>0 (isto é, |m|<1) o quociente é positivo e tende a +\infty quando x\to0. Para |m|>1 temos 1-m^{4}<0 e o quociente tende a -\infty. Assim, dependendo da inclinação m a função diverge com sinais opostos — reforçando que não há limite único.
Observação: para m=\pm1 a substituição dá denominador zero identicamente ( x^{4}-y^{4}=0 quando y=\pm x), então a função não está nem mesmo definida nesses pontos da reta exceto na origem; isso também mostra que há direções onde a expressão é singular antes de chegar a (0,0).

Passo 7

Resposta final: como há caminhos que levam a +\infty e outros que levam a -\infty (por exemplo y=0 e x=0), o limite quando (x,y)\to(0,0) da função dada não existe.

Resposta

O limite não existe.

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