Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da função
Pergunta clara: existe um número real
tal que, para qualquer modo de aproximar
a
(exceto pontos onde a função não esteja definida), o valor da expressão tende a
? Ou seja, qual é
Informações dadas: a fórmula da função (já escrita acima). Não há imagens nem outros dados numéricos.
Passo 2
Breve explicação da ideia que vou usar (sem pressupor que já sabe): para limites em duas variáveis, a maneira mais prática para verificar existência é testar aproximações por diferentes caminhos. Se escolher dois caminhos que chegam a
e os limites ao longo desses caminhos forem diferentes (incluindo sinais diferentes ou um sendo infinito e outro finito), então o limite geral NÃO existe.
Justificando por que isso vale: se o limite existisse e fosse um número
, então ao aproximar por qualquer sequência de pontos
o valor da função teria que tender a
. Portanto, encontrar duas sequências (ou caminhos) que dão limites diferentes prova que o limite não existe.
Vou aplicar isso testando caminhos simples: os eixos e depois a reta
para ver o comportamento geral.
Passo 3
Aproximação pelo eixo
. Substituo
na expressão:
Ao fazer
(com
), temos
Interpretação: aproximando
por pontos
no eixo
(com
), a função cresce sem limite positivo — tende para
.
Passo 4
Aproximação pelo eixo
. Substituo
:
Ao fazer
(com
), tem-se
Interpretação: aproximando
por pontos
no eixo
, a função diverge para
.
Passo 5
Conclusão imediata a partir dos passos anteriores: ao aproximar pela reta
o valor tende a
, enquanto que ao aproximar pela reta
tende a
. Esses dois “limites” não coincidem (nem mesmo em sinal), portanto não existe um único número real
tal que a função tenda a
ao aproximar
. Logo o limite não existe.
Passo 6
Complemento didático (mostra que o comportamento depende do caminho): considere a reta
com
fixo. Substituindo
obtemos
Para
tal que
(isto é,
) o quociente é positivo e tende a
quando
. Para
temos
e o quociente tende a
. Assim, dependendo da inclinação
a função diverge com sinais opostos — reforçando que não há limite único.
Observação: para
a substituição dá denominador zero identicamente (
quando
), então a função não está nem mesmo definida nesses pontos da reta exceto na origem; isso também mostra que há direções onde a expressão é singular antes de chegar a
.
Passo 7
Resposta final: como há caminhos que levam a
e outros que levam a
(por exemplo
e
), o limite quando
da função dada não existe.
Resposta
O limite não existe.