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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Isso está dentro do estudo de limites de funções de duas variáveis em cálculo. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Estamos olhando para o valor que a função
se aproxima quando tanto
quanto
se aproximam de 0. A ideia é verificar se esse valor é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar em
.
Passo 3
Vamos tentar aproximar
de
ao longo de diferentes caminhos e ver se o limite é consistente. Começaremos com o caminho onde
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, o limite dessa expressão é 5.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho, onde
. Substituindo na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definido. Isso já indica que algo está diferente nesse caminho.
Passo 5
Vamos tentar um terceiro caminho, por exemplo,
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, o limite dessa expressão é -5.
Passo 6
Observamos que ao seguir diferentes caminhos para
, obtivemos limites diferentes: 5 em um caso e -5 em outro. Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe porque os valores variam dependendo do caminho seguido para
.