lim (x, y) (0,0) -5 xy-x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) -5 xy - x. Isso está dentro do estudo de limites de funções de duas variáveis em cálculo. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Estamos olhando para o valor que a função -5xy - x se aproxima quando tanto x quanto y se aproximam de 0. A ideia é verificar se esse valor é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar em (0,0).

Passo 3

Vamos tentar aproximar (x, y) de (0,0) ao longo de diferentes caminhos e ver se o limite é consistente. Começaremos com o caminho onde y = 0. Substituindo na função:
-5x0 - x = -5x-x = 5
À medida que x se aproxima de 0, o limite dessa expressão é 5.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho, onde y = x. Substituindo na função:
-5xx - x = -5x0
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definido. Isso já indica que algo está diferente nesse caminho.

Passo 5

Vamos tentar um terceiro caminho, por exemplo, y = 2x. Substituindo na função:
-5x2x - x = -5xx = -5
À medida que x se aproxima de 0, o limite dessa expressão é -5.

Passo 6

Observamos que ao seguir diferentes caminhos para (0,0), obtivemos limites diferentes: 5 em um caso e -5 em outro. Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque os valores variam dependendo do caminho seguido para (0,0).

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