Obtenha, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais da função g(x)=2 ln x+3 x^2-8 x+1

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais da função g(x)=2ln x+3x^2-8x+1. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas e teste de segunda derivada para classificar extremos. Vamos precisar calcular g'(x) para encontrar pontos críticos e g''(x) para decidir se cada ponto é máximo ou mínimo.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada primeira de g(x). Lembrando que a derivada de ln x é 1/x e de x^2 é 2x, temos:
g'(x)=ddxl(2ln xr)+ddxl(3x^2r)-ddx(8x)+ddx(1)=2x+6x-8

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo g'(x)=0. Primeiro multiplicamos ambos os lados por x>0:
2+6x^2-8x=0Longrightarrow6x^2-8x+2=0Longrightarrow3x^2-4x+1=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática 3x^2-4x+1=0 pela fórmula de Bhaskara, temos De, logo
x=4pm26;Longrightarrow;x=1ou x=13

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
g''(x)=ddxl(2x+6x-8r)=-2x^2+6

Passo 6

Avaliaremos g''(x) nos críticos:
  • Para x=tfrac13: g''(tfrac13)=-2/(tfrac19)+6=-18+6=-12<0, indica máximo local.
  • Para x=1: g''(1)=-2+6=4>0, indica mínimo local.

Passo 7

Por fim, calculamos os valores da função em cada ponto:
  • g(tfrac13)=2ln(tfrac13)+3(tfrac19)-8(tfrac13)+1=-2ln3+tfrac13-tfrac83+1=-2ln3-tfrac43.
  • g(1)=2ln1+3-8+1=-4.

Resposta

Ponto de máximo local em l(tfrac13,,-2ln3-tfrac43r) e ponto de mínimo local em l(1,,-4r).

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