Obtenha, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais da função
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais da função
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas e teste de segunda derivada para classificar extremos. Vamos precisar calcular
para encontrar pontos críticos e
para decidir se cada ponto é máximo ou mínimo.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada primeira de
. Lembrando que a derivada de
é
e de
é
, temos:
Passo 3
Agora achamos os pontos críticos resolvendo
. Primeiro multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara, temos
, logo
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
Passo 6
Avaliaremos
nos críticos:
- Para
: , indica máximo local. - Para
: , indica mínimo local.
Passo 7
Por fim, calculamos os valores da função em cada ponto:
-
. -
.
Resposta
Ponto de máximo local em
e ponto de mínimo local em
.