\lim _{y \rightarrow x} \frac{y^{y}-x^{y}}{y-x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o limite \displaystyle \lim_{y\to x}\frac{y^{y}-x^{y}}{y-x}.
  • Pede calcular esse limite (valor numérico em função de x).
  • Observação importante sobre domínio: para trabalhar com y^{y} e com \ln quando diferenciarmos, é conveniente supor \,x>0. Se x\le 0 a expressão pode não estar bem definida para y próximos de x. Portanto vamos calcular o limite assumindo \,x>0.

Passo 2

Ideia principal (explicada de forma concreta): definir uma função em y que capture o numerador e reconhecer a forma de quociente de diferença que define a derivada. Defino
k(y)=y^{y}-x^{y}.
Então o quociente do enunciado é exatamente
\frac{k(y)-k(x)}{y-x},
porque k(x)=x^{x}-x^{x}=0. Por definição, se k for diferenciável em x então
\lim_{y\to x}\frac{k(y)-k(x)}{y-x}=k'(x).
Portanto basta calcular k'(x). Vou mostrar que k é diferenciável ao calcular sua derivada explicitamente (isso exige x>0 para usar \ln).

Passo 3

Cálculo da derivada de y^{y} (passo a passo e explicação):
  • Escrever y^{y} como exponencial: y^{y}=e^{y\ln y}. Isso é útil porque derivadas de exponenciais são simples.
  • Aplicar a regra da cadeia: derivada de e^{\varphi(y)} é e^{\varphi(y)}\varphi'(y).
  • Calcular \varphi(y)=y\ln y. A derivada de \varphi é, usando produto e derivada de \ln y,
\varphi'(y)=\frac{d}{dy}(y\ln y)=\ln y + 1.
  • Portanto
\frac{d}{dy}\bigl(y^{y}\bigr)=e^{y\ln y}(\ln y +1)=y^{y}(\ln y +1).
Explicação em palavras: a parte y^{y} produz um fator y^{y} ao derivar (como em qualquer exponencial), e a derivada do expoente y\ln y dá o fator extra \ln y+1.

Passo 4

Cálculo da derivada de x^{y} (tratando x como constante):
  • Escrever x^{y}=e^{y\ln x}.
  • Derivar em relação a y: a derivada é e^{y\ln x}\cdot \ln x = x^{y}\ln x.
  • Como em k(y) esse termo aparece com sinal negativo, a contribuição para k'(y) é -x^{y}\ln x.

Passo 5

Combinar as derivadas para obter k'(y) e avaliar em y=x:
  • Juntando os resultados dos passos anteriores,
k'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y^{y}-x^{y}\bigr)=y^{y}(\ln y +1)-x^{y}\ln x.
  • Agora avaliar em y=x. Substituindo y=x
k'(x)=x^{x}(\ln x +1)-x^{x}\ln x.
  • Simplificando os termos com \ln x,
k'(x)=x^{x}.
  • Como o limite pedido é exatamente k'(x), concluímos que o limite vale x^{x}.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (substituição y=x+h) — para ter intuição e ver que bate com a derivada:
  • Ponha y=x+h com h\to 0. O numerador fica
(x+h)^{x+h}-x^{x+h}=x^{x+h}\Bigl(e^{(x+h)\ln\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}-1\Bigr).
  • Assim o quociente é
\frac{(x+h)^{x+h}-x^{x+h}}{h}=x^{x+h}\cdot\frac{e^{(x+h)\ln(1+\tfrac{h}{x})}-1}{h}.
  • Para h\to 0 temos \ln(1+\tfrac{h}{x})=\tfrac{h}{x}+o(h), logo (x+h)\ln(1+\tfrac{h}{x})=h+o(h). Então o numerador do segundo fator tem expansão e^{h+o(h)}-1 = h+o(h). Dividindo por h dá algo que tende a 1.
  • Como x^{x+h}\to x^{x}, o produto tende a x^{x}. Isso confirma o resultado do método da derivada.

Resposta

x^{x}

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