Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o limite
. - Pede calcular esse limite (valor numérico em função de
). - Observação importante sobre domínio: para trabalhar com
e com quando diferenciarmos, é conveniente supor . Se a expressão pode não estar bem definida para próximos de . Portanto vamos calcular o limite assumindo .
Passo 2
Ideia principal (explicada de forma concreta): definir uma função em
que capture o numerador e reconhecer a forma de quociente de diferença que define a derivada. Defino
Então o quociente do enunciado é exatamente
porque
. Por definição, se
for diferenciável em
então
Portanto basta calcular
. Vou mostrar que
é diferenciável ao calcular sua derivada explicitamente (isso exige
para usar
).
Passo 3
Cálculo da derivada de
(passo a passo e explicação):
- Escrever
como exponencial: . Isso é útil porque derivadas de exponenciais são simples. - Aplicar a regra da cadeia: derivada de
é . - Calcular
. A derivada de é, usando produto e derivada de ,
- Portanto
Explicação em palavras: a parte
produz um fator
ao derivar (como em qualquer exponencial), e a derivada do expoente
dá o fator extra
.
Passo 4
Cálculo da derivada de
(tratando
como constante):
- Escrever
. - Derivar em relação a
: a derivada é . - Como em
esse termo aparece com sinal negativo, a contribuição para é .
Passo 5
Combinar as derivadas para obter
e avaliar em
:
- Juntando os resultados dos passos anteriores,
- Agora avaliar em
. Substituindo dá
- Simplificando os termos com
,
- Como o limite pedido é exatamente
, concluímos que o limite vale .
Passo 6
Verificação alternativa rápida (substituição
) — para ter intuição e ver que bate com a derivada:
- Ponha
com . O numerador fica
- Assim o quociente é
- Para
temos , logo . Então o numerador do segundo fator tem expansão . Dividindo por dá algo que tende a . - Como
, o produto tende a . Isso confirma o resultado do método da derivada.