\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a / 2 \\\ A(a-x), & a / 2 \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { Caso contrário. }\end{cases}
(a) Normalize a função de onda.
(b) Encontre o valor médio da posição \langle x\rangle.
(c) Encontre o valor médio do momento \langle p\rangle.
(d) Encontre \left\langle x^{2}\right\rangle.
(e) Encontre \left\langle p^{2}\right\rangle.
(e) Verifique a validade do princípio da incerteza nesse sistema.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
A função de onda é dada por
\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a / 2, \\[4pt] A(a-x), & a / 2 \leq x \leq a, \\[4pt] 0, & \text{Caso contrário.} \end{cases}á
O enunciado pede:
(a) Normalizar a função de onda (achar A).
(b) Calcular \langle x\rangle.
(c) Calcular \langle p\rangle.
(d) Calcular \langle x^{2}\rangle.
(e) Calcular \langle p^{2}\rangle.
(e) (segunda) Verificar o princípio da incerteza (isto é, comparar \Delta x\,\Delta p com \hbar/2).
Informações relevantes dadas:
A função é real e tem suporte apenas em [0,a].
\psi(0)=0 e \psi(a)=0.
\psi é triangular: cresce linearmente até x=a/2 e decresce linearmente até x=a.
A resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Normalização: definição e cálculo passo a passo.
Lembrete didático: Normalizar significa exigir que a probabilidade total seja 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\psi|^{2}=\psi^{2} porque \psi é real. Como \psi é zero fora de [0,a], a integral reduz-se a 0 a a. Divido a integral nas duas partes onde \psi tem expressão diferente:
1=\int_{0}^{a/2} (A x)^{2}\,dx + \int_{a/2}^{a} \big(A(a-x)\big)^{2}\,dx.
Fazer integração por partes (ou usar a identidade abaixo) é a forma prática. Para funções suficientemente suaves que se anulam nas fronteiras vale a identidade
logo \Delta x\,\Delta p \approx 0{,}5477\,\hbar > 0{,}5\,\hbar = \hbar/2. Portanto a desigualdade é satisfeita.
Observação física: o produto está próximo de \hbar/2 mas um pouco maior — isso é esperado; funções reais com cantos/derivadas descontínuas normalmente não são estados minimamente incertos.