5- Considere a função de onda
\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a / 2 \\\ A(a-x), & a / 2 \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { Caso contrário. }\end{cases}á
(a) Normalize a função de onda.
(b) Encontre o valor médio da posição \langle x\rangle.
(c) Encontre o valor médio do momento \langle p\rangle.
(d) Encontre \left\langle x^{2}\right\rangle.
(e) Encontre \left\langle p^{2}\right\rangle.
(e) Verifique a validade do princípio da incerteza nesse sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A função de onda é dada por
\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a / 2, \\[4pt] A(a-x), & a / 2 \leq x \leq a, \\[4pt] 0, & \text{Caso contrário.} \end{cases}á
  • O enunciado pede:
    (a) Normalizar a função de onda (achar A).
    (b) Calcular \langle x\rangle.
    (c) Calcular \langle p\rangle.
    (d) Calcular \langle x^{2}\rangle.
    (e) Calcular \langle p^{2}\rangle.
    (e) (segunda) Verificar o princípio da incerteza (isto é, comparar \Delta x\,\Delta p com \hbar/2).
Informações relevantes dadas:
  • A função é real e tem suporte apenas em [0,a].
  • \psi(0)=0 e \psi(a)=0.
  • \psi é triangular: cresce linearmente até x=a/2 e decresce linearmente até x=a.
A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Normalização: definição e cálculo passo a passo.
Lembrete didático: Normalizar significa exigir que a probabilidade total seja 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\psi|^{2}=\psi^{2} porque \psi é real. Como \psi é zero fora de [0,a], a integral reduz-se a 0 a a. Divido a integral nas duas partes onde \psi tem expressão diferente:
1=\int_{0}^{a/2} (A x)^{2}\,dx + \int_{a/2}^{a} \big(A(a-x)\big)^{2}\,dx.
Calcule cada integral separadamente.
  • Primeiro:
\int_{0}^{a/2} A^{2} x^{2}\,dx = A^{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a/2} = A^{2}\frac{(a/2)^{3}}{3} = A^{2}\frac{a^{3}}{24}.
  • Segundo: por simetria (trocar u=a-x) nota-se que é igual ao primeiro, mas faço explicitamente:
\int_{a/2}^{a} A^{2}(a-x)^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a/2} u^{2}\,du = A^{2}\frac{(a/2)^{3}}{3} = A^{2}\frac{a^{3}}{24}.
Somando:
1 = 2\cdot A^{2}\frac{a^{3}}{24} = A^{2}\frac{a^{3}}{12}.
Logo
A^{2}=\frac{12}{a^{3}},\qquad A=\sqrt{\frac{12}{a^{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{a^{3/2}}.

Passo 3

Cálculo de \langle x\rangle.
Lembrete didático: A expectativa de x é
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\, x\, \psi(x)\,dx = \int_{0}^{a} x\,|\psi(x)|^{2}\,dx.
Divido novamente em dois trechos.
Primeira parte:
\int_{0}^{a/2} x\cdot (A x)^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a/2} x^{3}\,dx = A^{2}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{a/2} = A^{2}\frac{(a/2)^{4}}{4} = A^{2}\frac{a^{4}}{64}.
Segunda parte: faço a substituição u=a-x para simplificar
\int_{a/2}^{a} x\cdot A^{2}(a-x)^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a/2} (a-u)u^{2}\,du = A^{2}\int_{0}^{a/2} (a u^{2}-u^{3})\,du.
Calculo:
A^{2}\Bigg[a\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{4}}{4}\Bigg]_{0}^{a/2} = A^{2}\Bigg(a\frac{(a/2)^{3}}{3}-\frac{(a/2)^{4}}{4}\Bigg) = A^{2}a^{4}\Big(\frac{1}{24}-\frac{1}{64}\Big).
Agora somo as duas partes; é mais rápido usar o resultado da normalização: já sabemos que
\int_{0}^{a} |\psi|^{2}\,dx = A^{2}\frac{a^{3}}{12}=1.
Após as contas (somando explicitamente os termos) obtém-se
\langle x\rangle = A^{2}\frac{a^{4}}{24} = \frac{a}{2}\cdot\underbrace{\Big(A^{2}\frac{a^{3}}{12}\Big)}_{=1} = \frac{a}{2}.
Interpretação: a densidade é simétrica em torno de a/2, então a média fica no centro do triângulo.

Passo 4

Cálculo de \langle p\rangle.
Lembrete didático: No espaço de posição, o operador momento é \hat p = -i\hbar \dfrac{d}{dx}. A expectativa é
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x)\,dx.
Como \psi é real, \psi^{*}=\psi, então o integrando é -i\hbar\,\psi\,\psi'. Note a identidade útil:
\psi\,\psi' = \tfrac{1}{2}\frac{d}{dx}(\psi^{2}).
Portanto
\langle p\rangle = -i\hbar \int_{0}^{a} \tfrac{1}{2}\frac{d}{dx}(\psi^{2})\,dx = -\frac{i\hbar}{2}\big[\psi^{2}(x)\big]_{0}^{a}.
Como \psi(0)=\psi(a)=0, o termo de fronteira vale zero, então
\langle p\rangle=0.
Comentário: esse é um cálculo rápido e robusto para funções reais que se anulam nas fronteiras — não precisamos derivar em cada trecho.

Passo 5

Cálculo de \langle x^{2}\rangle e da variância (\Delta x)^{2}.
Definição:
\langle x^{2}\rangle = \int_{0}^{a} x^{2}|\psi(x)|^{2}\,dx.
Calculo as duas parcelas.
Primeira:
\int_{0}^{a/2} x^{2}\cdot (A x)^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a/2} x^{4}\,dx = A^{2}\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{a/2} = A^{2}\frac{(a/2)^{5}}{5} = A^{2}\frac{a^{5}}{160}.
Segunda: com u=a-x,
\int_{a/2}^{a} x^{2}A^{2}(a-x)^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a/2} (a-u)^{2}u^{2}\,du = A^{2}\int_{0}^{a/2} \big(a^{2}u^{2}-2a u^{3}+u^{4}\big)\,du.
Integro termo a termo:
A^{2}\Bigg[a^{2}\frac{u^{3}}{3}-2a\frac{u^{4}}{4}+\frac{u^{5}}{5}\Bigg]_{0}^{a/2} = A^{2}a^{5}\Big(\frac{1}{24}-\frac{1}{32}+\frac{1}{160}\Big).
Somando a primeira e a segunda parcela e juntando frações encontra-se
\langle x^{2}\rangle = A^{2}a^{5}\frac{11}{480}.
Substituindo A^{2}=12/a^{3}:
\langle x^{2}\rangle = \frac{12}{a^{3}}\cdot a^{5}\cdot\frac{11}{480} = \frac{11}{40}\,a^{2}.
Agora a variância:
(\Delta x)^{2} = \langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2} = \frac{11}{40}a^{2} - \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = \frac{11}{40}a^{2}-\frac{10}{40}a^{2}=\frac{1}{40}a^{2}.
Portanto
\Delta x = \frac{a}{\sqrt{40}} = \frac{a}{2\sqrt{10}}.

Passo 6

Cálculo de [\langle p^{2}\rangle).
Lembrete didático: O operador \hat p^{2} é -\hbar^{2}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}. Assim
\langle p^{2}\rangle = \int \psi^{*}(x)\left(-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right)\psi(x)\,dx.
Fazer integração por partes (ou usar a identidade abaixo) é a forma prática. Para funções suficientemente suaves que se anulam nas fronteiras vale a identidade
\langle p^{2}\rangle = \hbar^{2}\int_{0}^{a} \bigg|\frac{d\psi}{dx}\bigg|^{2}\,dx,
porque os termos de fronteira desaparecem. Aqui \psi é contínua e linear em cada trecho, então essa identidade vale peça a peça.
Calcule \psi'(x):
\psi'(x)=\begin{cases} A, & 0<x< a/2,\\\\ -A, & a/2< x< a.\end{cases}
(Em x=a/2\] a derivada tem salto, mas isso é um ponto de medida zero e a integral de \(|\psi'|^{2} trata as duas constantes.)
Logo |\psi'|^{2}=A^{2} em todo o intervalo (0,a), e
\int_{0}^{a}\big|\psi'(x)\big|^{2}\,dx = A^{2}\int_{0}^{a} dx = A^{2}a.
Portanto
\langle p^{2}\rangle = \hbar^{2} A^{2} a.
Substituindo A^{2}=12/a^{3}
\langle p^{2}\rangle = \hbar^{2}\frac{12}{a^{3}}\,a = \frac{12\hbar^{2}}{a^{2}}.
Como \langle p\rangle=0, a variância (\Delta p)^{2}=\langle p^{2}\rangle, então
\Delta p = \sqrt{\langle p^{2}\rangle} = \frac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a}.

Passo 7

Verificação do princípio da incerteza.
Lembrete didático: O princípio da incerteza de Heisenberg para x e p diz
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Substituo os valores encontrados:
\Delta x\,\Delta p = \frac{a}{2\sqrt{10}}\cdot \frac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a} = \hbar\sqrt{\frac{3}{10}}.
Comparo com \hbar/2:
\sqrt{\frac{3}{10}}\approx 0{,}5477,\qquad \frac{1}{2}=0{,}5,
logo \Delta x\,\Delta p \approx 0{,}5477\,\hbar > 0{,}5\,\hbar = \hbar/2. Portanto a desigualdade é satisfeita.
Observação física: o produto está próximo de \hbar/2 mas um pouco maior — isso é esperado; funções reais com cantos/derivadas descontínuas normalmente não são estados minimamente incertos.

Resposta

(a) A=\displaystyle\sqrt{\frac{12}{a^{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{a^{3/2}}
(b) \langle x\rangle=\dfrac{a}{2}
(c) \langle p\rangle=0
(d) \langle x^{2}\rangle=\dfrac{11}{40}\,a^{2}
(e) \langle p^{2}\rangle=\dfrac{12\hbar^{2}}{a^{2}}
(e) (verificação) \Delta x=\dfrac{a}{2\sqrt{10}},\quad \Delta p=\dfrac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a},\quad \Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{\dfrac{3}{10}}>\dfrac{\hbar}{2}

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