O limite de escoamento de um metal é 100 MPa quando o tamanho de grão 100 micrometros e 200 MPa quando o tamanho de grão é reduzido 5 micrometros. Estime o limite de escoamento para este metal com de tamanho de grão de 1micrometro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o limite de escoamento de um metal relacionado ao tamanho dos grãos. Isso faz parte da matéria de Ciência dos Materiais, mais especificamente sobre a relação entre a estrutura do material e suas propriedades mecânicas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o tamanho dos grãos afeta o limite de escoamento e aplicar uma relação matemática que conecta esses dois fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o limite de escoamento. É a tensão máxima que um material pode suportar antes de começar a deformar de forma permanente. No nosso caso, quando o tamanho dos grãos diminui, o limite de escoamento aumenta. Isso acontece porque grãos menores dificultam o movimento das discordâncias, que são imperfeições na estrutura cristalina do material.

Passo 3

Para relacionar o limite de escoamento com o tamanho dos grãos, usamos a relação de Hall-Petch. Essa fórmula diz que o limite de escoamento ( sigmay) é igual a um valor base ( sigma0) mais uma constante vezes o inverso da raiz quadrada do tamanho do grão ( d):
sigmay = sigma0 + k cdot d^-1/2

Passo 4

Temos duas situações no problema:
  1. Quando d = 100 micrômetros, sigmay = 100 MPa.
  2. Quando d = 5 micrômetros, sigmay = 200 MPa.
Vamos usar essas informações para montar um sistema de duas equações e resolver para sigma0 e k.

Passo 5

Para d = 100 micrômetros:
100 = sigma0 + k cdot (100)^-1/2
100 = sigma0 + k cdot 110
100 = sigma0 + 0,1k
Para d = 5 micrômetros:
200 = sigma0 + k cdot (5)^-1/2
200 = sigma0 + k cdot 1raiz5
200 approx sigma0 + k cdot 0,4472

Passo 6

Agora temos o sistema de equações:
100 = sigma0 + 0,1k 200 = sigma0 + 0,4472k
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar sigma0:
200 - 100 = (sigma0 + 0,4472k) - (sigma0 + 0,1k)
100 = 0,3472k
k approx 1000,3472 approx 288

Passo 7

Agora que temos o valor de k, podemos substituir na primeira equação para encontrar sigma0:
100 = sigma0 + 0,1 cdot 288
100 = sigma0 + 28,8
sigma0 = 100 - 28,8
sigma0 = 71,2 MPa

Passo 8

Com sigma0 approx 71,2 MPa e k approx 288 MPa·μm ^1/2, vamos usar a relação de Hall-Petch para encontrar o limite de escoamento quando d = 1 micrômetro:
sigmay = 71,2 + 288 cdot (1)^-1/2
sigmay = 71,2 + 288 cdot 1
sigmay = 71,2 + 288
sigmay = 359,2 MPa

Resposta

O limite de escoamento para o metal com tamanho de grão de 1 micrômetro é aproximadamente 359,2 MPa.

Exercícios relacionados