O limite de escoamento de um metal é 100 MPa quando o tamanho de grão 100 micrometros e 200 MPa quando o tamanho de grão é reduzido 5 micrometros. Estime o limite de escoamento para este metal com de tamanho de grão de 1micrometro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o limite de escoamento de um metal relacionado ao tamanho dos grãos. Isso faz parte da matéria de Ciência dos Materiais, mais especificamente sobre a relação entre a estrutura do material e suas propriedades mecânicas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o tamanho dos grãos afeta o limite de escoamento e aplicar uma relação matemática que conecta esses dois fatores.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o limite de escoamento. É a tensão máxima que um material pode suportar antes de começar a deformar de forma permanente. No nosso caso, quando o tamanho dos grãos diminui, o limite de escoamento aumenta. Isso acontece porque grãos menores dificultam o movimento das discordâncias, que são imperfeições na estrutura cristalina do material.
Passo 3
Para relacionar o limite de escoamento com o tamanho dos grãos, usamos a relação de Hall-Petch. Essa fórmula diz que o limite de escoamento (
) é igual a um valor base (
) mais uma constante vezes o inverso da raiz quadrada do tamanho do grão (
):
Passo 4
Temos duas situações no problema:
- Quando
micrômetros, MPa. - Quando
micrômetros, MPa.
Vamos usar essas informações para montar um sistema de duas equações e resolver para
e
.
Passo 5
Para
micrômetros:
Para
micrômetros:
Passo 6
Agora temos o sistema de equações:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, podemos substituir na primeira equação para encontrar
:
Passo 8
Com
MPa e
MPa·μm
, vamos usar a relação de Hall-Petch para encontrar o limite de escoamento quando
micrômetro:
Resposta
O limite de escoamento para o metal com tamanho de grão de 1 micrômetro é aproximadamente 359,2 MPa.