A posição de uma partícula ao longo de uma linha reta é dada por s=(t^3-9 t^2+ 15t)m, em que t é dado em segundos. Determine sua aceleração máxima e sua velocidade máxima durante o intervalo de tempo 0 <= t <= 10 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula ao longo do tempo, dada pela fórmula $ \mathrm{s} = \mathrm{t}^3 - 9\mathrm{t}^2 + 15\mathrm{t} $ metros, onde $ \mathrm{t} $ está em segundos. O que a gente precisa fazer é encontrar a aceleração máxima e a velocidade máxima dessa partícula no intervalo de 0 a 10 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando $ \mathrm{s} $ em relação a $ \mathrm{t} $:
s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivando $ \mathrm{v}(t) $:
v(t)

Passo 4

Para encontrar a velocidade máxima, precisamos analisar a função $ \mathrm{v}(t) = 3\mathrm{t}^2 - 18\mathrm{t} + 15 $. Essa é uma função quadrática que abre para cima (porque o coeficiente de $ \mathrm{t}^2 $ é positivo). O ponto mínimo dessa função ocorre no vértice, mas como queremos a máxima velocidade no intervalo de 0 a 10 segundos, vamos avaliar a função nos extremos desse intervalo.
Calculando $ \mathrm{v}(0) $:
v(t) = 3t^2 - 18t + 15
Calculando $ \mathrm{v}(10) $:
t^2
Então, a velocidade máxima nesse intervalo é 135 m/s.

Passo 5

Para encontrar a aceleração máxima, observamos a função $ \mathrm{a}(t) = 6\mathrm{t} - 18 $. Essa é uma função linear, o que significa que a aceleração aumenta ou diminui constantemente. Para encontrar a máxima aceleração no intervalo de 0 a 10 segundos, vamos avaliar a função nos extremos desse intervalo.
Calculando $ \mathrm{a}(0) $:
a(t) = 6t - 18
Calculando $ \mathrm{a}(10) $:
a(0)
Então, a aceleração máxima nesse intervalo é 42 m/s².

Resposta

A aceleração máxima é $ 42 , m/s^2 $ e a velocidade máxima é $ 135 , m/s $ no intervalo de 0 a 10 segundos.

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