A posição de uma partícula ao longo de uma linha reta é dada por
15t)m, em que t é dado em segundos. Determine sua aceleração máxima e sua velocidade máxima durante o intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula ao longo do tempo, dada pela fórmula $ \mathrm{s} = \mathrm{t}^3 - 9\mathrm{t}^2 + 15\mathrm{t} $ metros, onde $ \mathrm{t} $ está em segundos. O que a gente precisa fazer é encontrar a aceleração máxima e a velocidade máxima dessa partícula no intervalo de 0 a 10 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando $ \mathrm{s} $ em relação a $ \mathrm{t} $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivando $ \mathrm{v}(t) $:
Passo 4
Para encontrar a velocidade máxima, precisamos analisar a função $ \mathrm{v}(t) = 3\mathrm{t}^2 - 18\mathrm{t} + 15 $. Essa é uma função quadrática que abre para cima (porque o coeficiente de $ \mathrm{t}^2 $ é positivo). O ponto mínimo dessa função ocorre no vértice, mas como queremos a máxima velocidade no intervalo de 0 a 10 segundos, vamos avaliar a função nos extremos desse intervalo.
Calculando $ \mathrm{v}(0) $:
Calculando $ \mathrm{v}(10) $:
Então, a velocidade máxima nesse intervalo é 135 m/s.
Passo 5
Para encontrar a aceleração máxima, observamos a função $ \mathrm{a}(t) = 6\mathrm{t} - 18 $. Essa é uma função linear, o que significa que a aceleração aumenta ou diminui constantemente. Para encontrar a máxima aceleração no intervalo de 0 a 10 segundos, vamos avaliar a função nos extremos desse intervalo.
Calculando $ \mathrm{a}(0) $:
Calculando $ \mathrm{a}(10) $:
Então, a aceleração máxima nesse intervalo é 42 m/s².
Resposta
A aceleração máxima é $ 42 , m/s^2 $ e a velocidade máxima é $ 135 , m/s $ no intervalo de 0 a 10 segundos.