O limite de uma função constante é? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece uma função constante: seja
tal que
para todo
em seu domínio, onde
é um número real fixo. A pergunta é: qual é o valor de
para um ponto arbitrário
do domínio? Pede-se explicitamente para justificar a resposta.
Passo 2
Intuição (sem formalidade ainda). Se
vale sempre o mesmo número
, então ao aproximarmos
de
o valor
não muda: continua sendo
. Logo faz sentido que o limite, que é o valor para o qual
“se aproxima” quando
se aproxima de
, seja justamente
.
Passo 3
Vamos dar a justificativa formal usando a definição
-
de limite. Relembrando a definição: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
tem-se
.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso da função constante
. Tome um
arbitrário. Para qualquer
(em particular para qualquer
com
), temos
Como
, a desigualdade
é verdadeira, então
vale automaticamente.
Passo 5
Concluir a prova
-
. A observação anterior mostra que, dado qualquer
, basta escolher qualquer
(por exemplo
ou
arbitrário) para que, sempre que
, seja
. Isso satisfaz exatamente a definição de limite. Portanto o limite a partir de qualquer ponto
existe e é igual a
.
Passo 6
Observações úteis para prova/exame:
- A mesma argumentação vale para limite lateral:
e . - Vale também para limites no infinito:
e , porque para suficientemente grande (ou suficientemente negativo) e a diferença é zero. - Consequência prática: toda função constante é contínua em todo ponto do domínio, já que o limite em
coincide com o valor .