O limite de uma função constante é? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece uma função constante: seja f tal que f(x)=c para todo x em seu domínio, onde c é um número real fixo. A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) para um ponto arbitrário a do domínio? Pede-se explicitamente para justificar a resposta.

Passo 2

Intuição (sem formalidade ainda). Se f vale sempre o mesmo número c, então ao aproximarmos x de a o valor f(x) não muda: continua sendo c. Logo faz sentido que o limite, que é o valor para o qual f(x) “se aproxima” quando x se aproxima de a, seja justamente c.

Passo 3

Vamos dar a justificativa formal usando a definição \varepsilon- \delta de limite. Relembrando a definição: dizemos que \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso da função constante f(x)=c. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Para qualquer x (em particular para qualquer x com 0<|x-a|<\delta), temos
|f(x)-c| = |c-c| = 0.
Como 0<\varepsilon, a desigualdade 0<\varepsilon é verdadeira, então |f(x)-c|<\varepsilon vale automaticamente.

Passo 5

Concluir a prova \varepsilon- \delta. A observação anterior mostra que, dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1 ou \delta arbitrário) para que, sempre que 0<|x-a|<\delta, seja |f(x)-c|<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de limite. Portanto o limite a partir de qualquer ponto a existe e é igual a c.

Passo 6

Observações úteis para prova/exame:
  • A mesma argumentação vale para limite lateral: \lim_{x\to a^-} f(x)=c e \lim_{x\to a^+} f(x)=c.
  • Vale também para limites no infinito: \lim_{x\to\infty} f(x)=c e \lim_{x\to -\infty} f(x)=c, porque para x suficientemente grande (ou suficientemente negativo) f(x)=c e a diferença é zero.
  • Consequência prática: toda função constante é contínua em todo ponto do domínio, já que o limite em a coincide com o valor f(a)=c.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=c

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