Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a mais infinito:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é \,x^{2}.
  • O denominador é \,x+1.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, valores de x crescem sem limite, positivos e grandes).

Passo 2

Estratégia simples e prática (que dá certo em provas): dividir numerador e denominador por uma potência de x que simplifique a expressão. Aqui basta dividir por x (a maior potência comum entre os termos do denominador). Vou explicar por que isso ajuda e como fazer passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x (válido para x\neq0, e interessa x grande):
\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{\dfrac{x^{2}}{x}}{\dfrac{x+1}{x}}=\frac{x}{1+\dfrac{1}{x}}.
Explicação detalhada: cada termo foi dividido por x. No numerador \dfrac{x^{2}}{x}=x. No denominador \dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das partes mais simples que apareceram. Sabemos que quando x\to+\infty vale:
\frac{1}{x}\to 0.
Por que? Porque à medida que x fica cada vez maior, o recíproco 1/x fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 5

Substituindo o comportamento de \dfrac{1}{x} na expressão reescrita:
\frac{x}{1+\dfrac{1}{x}}\sim\frac{x}{1+0}=\;x\quad\text{quando }x\to+\infty.
Isto é, o denominador tende para 1 e o numerador tende para +\infty. Para tornar a argumentação rigorosa e à prova de dúvidas, use uma desigualdade simples para x grande: para x\ge 1 tem \,1+\dfrac{1}{x}\le 2, portanto
\frac{x}{1+\dfrac{1}{x}}\ge \frac{x}{2}\quad\text{para }x\ge 1.
Como \dfrac{x}{2}\to+\infty quando x\to+\infty, pela desigualdade a expressão original também tende para +\infty.

Passo 6

Interpretação geral (dica de prova/exame): para quocientes de polinômios, compare os graus (maior potência de x):
  • Se o grau do numerador é maior que o do denominador (aqui 2>1), o limite em +\infty é +\infty ou -\infty conforme o sinal do termo dominante; neste caso, para x\to+\infty +\infty.
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais.
  • Se o grau do numerador é menor, o limite é 0.
    Isso serve para responder rapidamente questões do tipo sem escrever tudo.

Resposta

+\infty

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