Calcule o limite, se existir:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a mais infinito:
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável
tende para (ou seja, valores de crescem sem limite, positivos e grandes).
Passo 2
Estratégia simples e prática (que dá certo em provas): dividir numerador e denominador por uma potência de
que simplifique a expressão. Aqui basta dividir por
(a maior potência comum entre os termos do denominador). Vou explicar por que isso ajuda e como fazer passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
, e interessa
grande):
Explicação detalhada: cada termo foi dividido por
. No numerador
. No denominador
.
Passo 4
Agora analisamos os limites das partes mais simples que apareceram. Sabemos que quando
vale:
Por que? Porque à medida que
fica cada vez maior, o recíproco
fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 5
Substituindo o comportamento de
na expressão reescrita:
Isto é, o denominador tende para
e o numerador tende para
. Para tornar a argumentação rigorosa e à prova de dúvidas, use uma desigualdade simples para
grande: para
tem
, portanto
Como
quando
, pela desigualdade a expressão original também tende para
.
Passo 6
Interpretação geral (dica de prova/exame): para quocientes de polinômios, compare os graus (maior potência de
):
- Se o grau do numerador é maior que o do denominador (aqui
), o limite em é ou conforme o sinal do termo dominante; neste caso, para dá . - Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais.
- Se o grau do numerador é menor, o limite é
.
Isso serve para responder rapidamente questões do tipo sem escrever tudo.